Holomorphie

04.05.2017, 13:31	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Holomorphie Hallo Forum, ich komme bei folgendem Beispiel nicht wirklich weiter: Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray} f(z)=\sqrt{1+z^2} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} G_1=\{z\in\mathbb{C}: \|z\|<1\} \end{eqnarray}$ und in $\begin{eqnarray} G_2=\{z\in\mathbb{C}: \|z\|>1\} \end{eqnarray}$ holomorph ist. Dann sind auch noch die Laurentreihen von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} G_1 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} G_2 \end{eqnarray}$ gesucht. Entwicklungspunkt ist hier also 0 zu wählen. Anscheinend ist die Funktion bei zumindest einem $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|z\|=1 \end{eqnarray}$ nicht holomorph. Was gibt es für Möglichkeiten, Holomorphie nachzuweisen? Ich habe versucht, den Real- und Imaginärteil von f explizit auszudrücken, komme aber auf kein brauchbares Ergebnis. Danke für Hilfe!
05.05.2017, 06:53	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Holomorphie Du kannst ja zunächst mal formal die Ableitung bilden. Dann siehst du, dass sie überall existiert mit Ausnahme von 2 Punkten auf dem Einheitskreis. Die Laurentreihe um $\begin{eqnarray} z=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|z\|<1 \end{eqnarray}$ sollte kein Problem sein. Unf für $\begin{eqnarray} \|z\|>1 \end{eqnarray}$ verwendest du den üblichen Trick: $\begin{eqnarray} \sqrt {1+z^2}=z\sqrt {1+\frac {1}{z^2}} \end{eqnarray}$

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