Singularitäten klassifizieren

04.05.2017, 14:44

Kegorus

Singularitäten klassifizieren

Hallo Forum, ich bräuchte einen Tipp bei folgendem Beispiel:

Es sind die Singularitäten von $\begin{eqnarray*} f(z)=cos(z+\frac{1}{z}) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen und klassifizieren.

Die einzige Singularität hier ist 0. Meine Vermutung ist, dass es sich um eine wesentliche handelt.

Dazu müsste man doch zeigen, dass der folgende Grenzwert für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ nicht existiert:

$\begin{eqnarray*} lim_{z\to 0}\ z^{-n} cos(z+\frac{1}{z}) = lim_{z\to 0}\ z^{-n} \frac{1}{2}( e^{iz}e^{\frac{i}{z}}+e^{-iz}e^{-\frac{i}{z}} ) \end{eqnarray*}$

0 ist eine wesentliche Singularität von $\begin{eqnarray*} e^{\frac{i}{z}} \end{eqnarray*}$ , somit auch von $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{i}{z}} \end{eqnarray*}$ .
Aber ich kann hier ja nicht einfach den Limes reinziehen?

Danke für Hilfe!

04.05.2017, 15:10

HAL 9000

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Du meinst aber doch $\begin{align*} z^n \end{align*}$ statt $\begin{align*} z^{-n} \end{align*}$ bei dem Kriterium der wesentlichen Singularität!

Zitat:

Original von Kegorus
Aber ich kann hier ja nicht einfach den Limes reinziehen?

Zumindest ist es argumentativ wacklig, den Limes der Summe als Summe der Einzellimites darzustellen, wo sich dann am Ende raussetellt, dass beide Einzellimites nicht existieren - gefährlich, schließlich können zwei Terme divergieren, ihre Summe aber konvergieren!

Ich würde einfach einen speziellen Pfad zum Nullpunkt nehmen, um nachzuweisen, dass dieser Grenzwert nicht existiert, hier würde sich $\begin{align*} z=\frac{i}{t} \end{align*}$ mit $\begin{align*} t\to\infty \end{align*}$ anbieten: Dann ist

$\begin{align*} z^n \cos\left(z+\frac{1}{z}\right) = \frac{i^n}{t^n} \cos\left(\frac{i}{t}-it\right) = \frac{i^n}{t^n} \cosh\left(\frac{1}{t}-t\right) \end{align*}$ .

Für $\begin{align*} t\geq 1 \end{align*}$ gilt für den Betrag dieses Ausdrucks $\begin{align*} \frac{1}{t^n} \cosh\left(t-\frac{1}{t}\right) > \frac{1}{2t^n} \exp(t-1) \end{align*}$ , und das rechts divergiert gegen $\begin{align*} \infty \end{align*}$ für $\begin{align*} t\to\infty \end{align*}$ .

04.05.2017, 16:55

Kegorus

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Ok fein, danke!

In einem meiner KANA Skripten habe ich tatsächlich folgende Definition der Ordnung:

$\begin{eqnarray*} Ord(f,z_0)= sup\{n\in\mathbb{Z}: lim_{z\to z_0}(z-z_0)^{-n} f(z) \end{eqnarray*}$ existiert in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}\} \end{eqnarray*}$

Die "Polstellenordnung" ist dann -Ordnung. Bei unserem f ist die Menge also leer und das Supremum der leeren Menge ist $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ . Und so sind in diesem Skript wesentliche Singularitäten definiert.

Noch eine kurze Frage: Die Singularitäten von

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{sin(\frac{1}{z})} \end{eqnarray*}$

sind doch zunächst $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k\pi} \end{eqnarray*}$ .
Kann ich hier einfach argumentieren, dass dies einfache Polstellen sind, weil es sich um einfache Nullstellen von
$\begin{eqnarray*} sin(\frac{1}{z}) \end{eqnarray*}$ handelt?

Außerdem ist 0 eine Singularität, aber keine isolierte, weil es in jeder Epsilon Umgebung von 0 weitere Singularitäten gibt, nämlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k\pi} \end{eqnarray*}$ für hinreichend große k. Und eine nichtisolierte Singularität kann man nicht weiter klassifizieren oder?

04.05.2017, 17:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kegorus
Die "Polstellenordnung" ist dann -Ordnung.

Ja eben. Damit ist dein $\begin{align*} n \end{align*}$ im Eröffnungsbeitrag nicht die Polstellenordnung, sondern die Ordnung selbst, die im Fall von Polstellen dann aber negativ ist.

Und deswegen ist deine im Eröffnungsbeitrag vorgenommene Einengung $\begin{align*} n\in{\color{red}\mathbb{N}} \end{align*}$ Unsinn in Hinblick auf dein Problem - deswegen meine Intervention.

04.05.2017, 18:50

Kegorus

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Ja danke, das war falsch, hab es jetzt ausgebessert.

Irgendwelche Einwände zu dem aus meinem letzten Post?

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