Stochastik Sachaufgabenproblem (alte Schuhe / Kellerproblem)

04.05.2017, 18:37	1Manu	Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastik Sachaufgabenproblem (alte Schuhe / Kellerproblem) Meine Frage: Hallo Zusammen kann mir jemand vielleicht bei der Aufgabe helfen. In Klärchens Keller befindet sich ein Karton mit n Paar alten Schuhen. Leider ist mal wieder das Licht kaputt. Also nimmt Klärchen blindlings zufällig Schuhe heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Klärchen unter den herausgenommenen Schuhen (a) kein Paar, (b) genau ein Paar erwischt? Gehen Sie bei der Beantwortung dieser Frage davon aus, dass alle Ergebnisse dieses Zufallsexperimentes mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten können. Meine Ideen: Ich möchte keine Lösung davon haben. Ich brauche nur Ansätze, da ich die Aufgabe zur Übung für eine Klausur lösen möchte. Deshalb hoffe ich, dass ihr mir helfen könntet. Danke Grüße Manuel
04.05.2017, 18:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, die Antwort auf beide Fragen hängt nicht nur von $\begin{align} n \end{align}$ , sondern auch von der Anzahl der entnommenen Schuhe ab - nennen wir diese Anzahl $\begin{align} m \end{align}$ . Dann gibt es $\begin{align} \binom{2n}{m} \end{align}$ mögliche Auswahlen von $\begin{align} m \end{align}$ aus den insgesamt $\begin{align} 2n \end{align}$ Schuhen, jeder dieser Auswahlen ist gleichwahrscheinlich (Laplace-W-Raum). Zunächst zu a), wir unterscheiden hier zwei Fälle: a1) $\begin{align} m>n \end{align}$ . Was hier passiert, sollte klar sein, oder? a2) $\begin{align} m\leq n \end{align}$ . Damit kein Paar unter den $\begin{align} m \end{align}$ herausgenommenen Schuhen ist, müssen diese $\begin{align} m \end{align}$ Schuhe aus jeweils verschiedenen Paaren stammen. Wie viele mögliche Auswahlen von $\begin{align} m \end{align}$ aus $\begin{align} n \end{align}$ Paaren gibt es? Wieviele Auswahlen von einem aus zwei Schuhen eines Paares gibt es, und das betrachtet über alle diese $\begin{align} m \end{align}$ Schuhe? Die Beantwortung dieser Fragen sollte in geeigneter Verknüpfung die Anzahl der günstigen Auswahlen für das Ereignis "kein Paar" liefern. b) Hier wird es ein wenig komplizierter. Aber wer einmal a) bewältigt hat und die Ideen dahinter verstanden hat, kriegt auch das hin. b1) $\begin{align} m>n+1 \end{align}$ . Wieder hoffentlich klar. b2) $\begin{align} m\leq n+1 \end{align}$ . Hier kann man zunächst das eine Paar aus $\begin{align} n \end{align}$ Paaren wählen, welches tatsächlich komplett in der Auswahl vorkommt. Es verbleiben dann $\begin{align} (m-2) \end{align}$ Schuhen aus $\begin{align} (n-1) \end{align}$ Paaren auszuwählen, ohne dass ein weiteres Paar gefunden wird - das ist dasselbe Problem wie a), nur mit anderen Anzahlen. c) Denkt man noch tiefer nach, kriegt man auch die Wahrscheinlichkeit für "genau $\begin{align} k \end{align}$ gefundene Paare" raus.
04.05.2017, 22:01	1Manu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm... Okay die Aufgabe ist ein ganz schöner Brocken ich finde keinen Weg dadurch ^^ selbst mit deiner guten Idee nicht. Ich habe es bis zu den Fallunterscheidungen auch so ab dort komme ich nicht weiter. Es kommt bei mir für b) P= 2*n/(Summe aus n-k) raus aber das ist nicht ganz richtig .
04.05.2017, 22:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Bleiben wir doch erstmal bei dem einfacheren a), und das Schritt für Schritt: 1.Wie viele mögliche Auswahlen von $\begin{align} m \end{align}$ aus $\begin{align} n \end{align}$ Paaren gibt es? 2.Wieviele Auswahlen von einem aus zwei Schuhen eines Paares gibt es? 3.Wieviele Auswahlen von jeweils einem aus zwei Schuhen bei allen m Paaren gibt es?

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