Singularitäten

04.05.2017, 17:18

Kegorus

Singularitäten

Hallo Forum,

kurze Frage: Ich soll die Singularitäten der komplexen Funktion

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1-cos(z)}{(sin(z))^k} \end{eqnarray*}$ bestimmen und klassifizieren. k ist eine fixe natürliche Zahl.

$\begin{eqnarray*} n\pi \end{eqnarray*}$ sind isolierte Singularitäten.

Kann ich hier einfach sagen, sie sind k- fache Polstellen, weil sie k-fache Nullstellen vom Nenner

$\begin{eqnarray*} (sin(z))^k \end{eqnarray*}$ sind?

Und der Zähler hat hier keinen Einfluss oder doch?

04.05.2017, 17:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kegorus
Kann ich hier einfach sagen, sie sind k- fache Polstellen, weil sie k-fache Nullstellen vom Nenner

$\begin{eqnarray*} (sin(z))^k \end{eqnarray*}$ sind?

Nein, du musst auch berücksichtigen, ob es Zählernullstellen sind - was im Falle von $\begin{align*} n\pi \end{align*}$ bei geraden $\begin{align*} n \end{align*}$ der Fall ist...

Hinweis: Wegen $\begin{align*} (1-\cos(z))(1+\cos(z)) = 1-\cos^2(z) = \sin^2(z) \end{align*}$ gilt auch

$\begin{align*} f(z) = \frac{1}{(1+\cos(z))\cdot (\sin(z))^{k-2}} \end{align*}$ ,

das lässt sich für eben jene geraden $\begin{align*} n \end{align*}$ nutzen. Augenzwinkern

04.05.2017, 19:27

Kegorus

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Hi, super danke!

Hier kann man also die Vielfachheiten als Nullstellen direkt ablesen?

Gilt also ungerade Vielfache von Pi sind k-1 fache Pole,
gerade Vielfache von Pi k-2 fache Pole?

Aber das ist ja dann ein anderes Ergebnis als wenn man nicht umgeformt hätte, dann wären die jeweiligen Vielfachheiten genau 1 mehr? Irgendwas versteh ich da falsch^^

04.05.2017, 19:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kegorus
Gilt also ungerade Vielfache von Pi sind k-1 fache Pole,

Wieso k-1 ? Nein, k.

Zitat:

Original von Kegorus
gerade Vielfache von Pi k-2 fache Pole?

Ja.

04.05.2017, 21:01

Kegorus

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