Stoppzeit zeigen

04.05.2017, 21:15	ABBA762	Auf diesen Beitrag antworten »
Stoppzeit zeigen Guten Abend, ich stehe vor folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ stochastischer Prozess, $\begin{eqnarray} t \to X_t (\omega ) \end{eqnarray}$ stetig und $\begin{eqnarray} \Gamma \subset \mathbb R ^d \end{eqnarray}$ abgeschlossen. Zeige $\begin{eqnarray} H_\Gamma := \inf\left\{ t\geq 0: X_t \in \Gamma \right\} \end{eqnarray}$ Stoppzeit bzgl. $\begin{eqnarray} \mathcal F _t := \sigma (X_s :s\leq t) \end{eqnarray}$ . Setze $\begin{eqnarray} T_n := \left\{ j\geq 0 : j \leq n\right\} \end{eqnarray}$ , damit gilt: $\begin{eqnarray} \left\{ H_\Gamma \leq t \right\} =\left\{ \inf\left\{ t\geq 0: X_t \in \Gamma \right\} \leq t\right\}= \bigcup_{j\in T_n} \left\{ X_j \in \Gamma \right\} \end{eqnarray}$ . Nun gilt $\begin{eqnarray} \left\{ X_j \in \Gamma \right\} \in \mathcal F _t \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} j\in T_n \end{eqnarray}$ . Damit ist man fertig. Meine Fragen: Wo genau geht hier die Stetigkeit des Pfades und die Abgeschlossenheit des $\begin{eqnarray} \Gamma \end{eqnarray}$ ' ein?

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