Bestimmen der Zähldichte

05.05.2017, 00:04

FaithNoMore

Bestimmen der Zähldichte

Meine Frage:
Hallihallo,

ich sitze gerade vor einer Aufgabe und habe leider so überhaupt keine Ahnung, wie ich damit beginnen soll:

Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega, P) \end{eqnarray*}$ ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und $\begin{eqnarray*} X: \Omega \rightarrow \{-n, -n +1, ... , n-1, n\} \end{eqnarray*}$ eine Zufallsvariable, deren Verteilung $\begin{eqnarray*} P^x \end{eqnarray*}$ gerade die Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} \{-n, -n+1, ... , n-1, n\} \end{eqnarray*}$ ist, (d.h. $\begin{eqnarray*} P\{X = i\} =\frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \in \{-n, -n+1, ..., n-1, n\}) \end{eqnarray*}$ ). Bestimmen Sie die Zähldichte der Verteilung der Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X^2: \Omega \rightarrow \{i^2 \mid i \in \{0, 1, ..., n\}, \, X^2(\omega) := (X( \omega))^2 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Leider weiß ich so gar nicht, wie ich hier rangehen soll. Ich muss also die Wahrscheinlichkeitsfunktion ermitteln. Der Grundraum von $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ hat sich aber nun halbiert und $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ selbst hat sich quadriert. Inwiefern könnte ich daraus mit Hilfe der Gleichverteilung von X die Wahrscheinlichkeitsfunktion berechnen? Hammer

05.05.2017, 08:25

HAL 9000

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Wie schon in der Aufgabenstellung festgestellt, kann $\begin{align*} X^2 \end{align*}$ als Werte die Quadratzahlen $\begin{align*} 0, 1, 4, \ldots, n^2 \end{align*}$ annehmen, es bleibt nur noch die Frage, mit jeweils welcher Wahrscheinlichkeit. Und dazu muss man diese Wahrscheinlichkeiten auf passende Wahrscheinlichkeiten für $\begin{align*} X \end{align*}$ zurückführen:

a) $\begin{align*} X^2=0 \end{align*}$ passiert genau dann, wenn $\begin{align*} X=0 \end{align*}$ , also ist $\begin{align*} P(X^2=0) = P(X=0) \end{align*}$ .

b) Für $\begin{align*} k=1,2,\ldots,n \end{align*}$ gilt: $\begin{align*} X^2=k^2 \end{align*}$ passiert genau dann, wenn $\begin{align*} X=k \end{align*}$ oder (!) $\begin{align*} X=-k \end{align*}$ , also ist $\begin{align*} P(X^2=k^2) = P(X=k)+P(X=-k) \end{align*}$ .

Einsetzen, das Resultat geordnet aufschreiben, fertig.

Zitat:

Der Grundraum von $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ hat sich aber nun halbiert

Der Grundraum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ hat sich nicht halbiert, es ist derselbe für alle hier betrachtenden Zufallsgrößen. Was sich (nahezu) halbiert hat, ist die Anzahl der möglichen Werte, die die Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ annehmen kann, im Vergleich zu $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ - das ist was völlig anderes. Also bitte bei solchen Begriffen genau auf die Wortwahl achten.

06.05.2017, 20:58

FaithNoMore

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Ahh, vielen Dank. Also wenn ich das richtig verstanden habe, dann ergibt sich die Zähldichte als

$\begin{eqnarray*} f(\omega) = \frac{1}{2n+1} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \omega = 0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f(\omega)=\frac{2}{2n+1} \end{eqnarray*}$ sonst ? verwirrt

Und vielen Dank für die Berichtigung in der Ausdrucksweise! Das kann in der anstehenden Klausur nur nützlich sein!

07.05.2017, 19:24

FaithNoMore

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Tut mir leid, dass ich nun nochmal nachhake, aber war mein Herangehensweise richtig oder doch total daneben? verwirrt

07.05.2017, 20:00

HAL 9000

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Üblich wäre die Symbolik

$\begin{align*} P(X^2 = n) = \begin{cases} \frac{1}{2n+1} &\;\mbox{für}\;n=0\\ \frac{2}{2n+1} &\;\mbox{für $n=k^2$ mit}\;k\in\mathbb{N},1\leq k\leq n\\ 0 &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$

Die Wahrscheinlichkeiten der $\begin{align*} \omega \end{align*}$ (= Elementarereignisse des Grundraums) ändern sich nicht, nur weil man eine andere Zufallsgröße desselben Grundraumes betrachtet. Im übrigen gibt es bei dieser Aufgabe hier gar keine (!) konkreten Informationen zur Struktur des Grundraums, der bleibt hier im Dunkeln. Alles, was wir von ihm wissen, geschieht nur über die Zufallsgröße $\begin{align*} X \end{align*}$ und deren Verteilung. Augenzwinkern

07.05.2017, 20:07

FaithNoMore

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Vielen Dank für die Antwort und die gute Hilfe! smile

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