Integration komplexe exp-Funktion Grenzen

05.05.2017, 09:14	FrageFragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration komplexe exp-Funktion Grenzen Meine Frage: Hallo, habe ein Produktintegral ausgewertet, da steht nun ein Term exp(iax), wobei i die Immaginäre Einheit bezeichnet und a eine reelle Konstante ist, das x ist die Variable, nach der ich intergriert habe. Das ist soweit ok., wie ich unbestimmt integriere. Das Problem ist aber, dass ich die Integration in den Grenzen von $\begin{eqnarray} -\inf \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \inf \end{eqnarray}$ machen möchte. Hier weiss ich nicht genau, wie dann der Grenzwert aussieht. Meine Ideen: Man kann mal ausschreiben exp(iainf)-exp(-iainf), dann wäre das cos(ainf)+isin(ainf)-(cos(ainf)-isin(ainf))=2sin(ainf), aber was ist denn der Wert für sin unendlich, konvergiert das irgendwo hin ?
05.05.2017, 11:56	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das unbestimmte Integral lässt sich innerhalb der genannten Grenzen nicht auswerten. mY+
06.05.2017, 01:07	FrageFragezeichen	Auf diesen Beitrag antworten »
ok., wenn das nicht geht, dann können wir auch bestimmt Integrieren. Ich habe folgendes Integral: $\begin{eqnarray} \int_{x_0-\Delta x}^{x_0+\Delta x} \! f(x) \cdot exp(i\cdot a \cdot x) dx \end{eqnarray}$ . In einem Buch steht nun, wenn x ausreichend gross, dann oszilliert der Integrand so schnell, dass sich die benachtbarten Anteile aufheben. Was kommt in diesem Fall aus dem Integral heraus ? Könnte man dann tatsächlich sagen, das Integral entspricht $\begin{eqnarray} \int_{x_0-\Delta x}^{x_0+\Delta x} \! f(x) dx \end{eqnarray}$ . Die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) \cdot exp(i\cdot a \cdot x) \end{eqnarray}$ , wird ja dann an ziemlich vielen Stellen gleich f_(x), aber doch auch an genauso vielen Stellen gleich z.B. -f(x), also glaube ich nicht, dass man einfach über f_(x) integrieren kann. Wenn f_(x) stetig, dann sollte doch eigentlich 0 aus dem Integral herauskommen, weil sich z.B. Terme wo die Funktion gleich f_(x) und -f_(x), sehr nahe beieinander liegen und wegheben. Und warum löst man nicht einfach das Produkintegral dann hätte man doch: $\begin{eqnarray} \int_{x_0-\Delta x}^{x_0+\Delta x} \! f(x) \cdot exp(i\cdot a \cdot x) dx <br /> =\int_{x_0-\Delta x}^{x_0+\Delta x} \! f(x) dx \cdot \left[exp(i\cdot a \cdot x)\right]_{x_0-\Delta x}^{x_0+\Delta x} -(\int_{x_0-\Delta x}^{x_0+\Delta x} (\int_{x_0-\Delta x}^{x_0+\Delta x} \! f(x) dx) i \cdot a \cdot exp(i\cdot a \cdot x)dx)<br /> \end{eqnarray}$ . Das könnte man nun ewig weiter machen, aber wenn man richtig zusammenfasst, dann bleibt doch vor dem Integral immer der Term $\begin{eqnarray} \left[exp(i\cdot a \cdot x)\right]_{x_0-\Delta x}^{x_0+\Delta x} \end{eqnarray}$ stehen, den kann man herausziehen, weil er bei jeder Produkintegration einfach stehen gelassen werden kann und man den Term dann immer nur ableitet. Dann hätte man aber als Ergebnis, dass jede Lösung mit dem Faktor $\begin{eqnarray} exp(iax_0)2isin(a\Delta x) \end{eqnarray}$ multipliziert wird. D.h. man hat immer eine Modulation des Betrages, mit dem sinus, die nur von der Wahl der Breite der Integrationsgrenzen abhängt, aber das kann doch nicht sein, mache ich irgendwo etwas falsch ? Eigentlich versuche ich zu zeigen, dass bei mir eine Lösung der Form abs(g_(x))exp(iax) herauskommt, also im Betrag des Ergebnis nicht mehr das a steht und der Winkel linear von a mit x zunimmt. Unter welchen Voraussetzungen an den Integranten ist das denn erfüllt. Habe schon versucht ein bestimmtes x_0 vorzuklammern, aber ich komme nicht zu dem Schritt, wo ich sagen kann, dann und dann sieht meine Lösung wie oben beschreiben aus, Grüsse

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