Darstellungsmatrix Bilinearform

05.05.2017, 14:24

Mathematicax33

Darstellungsmatrix Bilinearform

Meine Frage:
Hallo,
folgende Aufgabe
[attach]44398[/attach]

Meine Ideen:
Ich habe zunächst meine Duale Basis bestehend aus 3 Vektoren bestimmt.
Mein Problem: Wir haben die Darstellungsmatrix einer Bilinearform wie folgt definiert: B die Basis : $\begin{eqnarray*} B=(v_{1},...,v_{n}) \end{eqnarray*}$ , dann die Matrix bzgl. B :
$\begin{eqnarray*} A_{ij} =f(v_{i} ,v_{j} ) \end{eqnarray*}$

Aber wie würde denn überhaupt beispielsweise $\begin{eqnarray*} \varphi(v_{1},v_{2} ) \end{eqnarray*}$ aussehen ? Die Funktion ist ja so definiert ,dass sie nur einen Vektor auf die Abbildung schickt, das verwirrt mich.

Hoffe jemand kann mir helfen
Grüße

05.05.2017, 14:49

IfindU

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RE: Darstellungsmatrix Bilinearform
Das liegt daran, dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ eine Linearform ist, und keine Bilinearform.

05.05.2017, 14:54

Mathematicax33

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RE: Darstellungsmatrix Bilinearform
Und wie bestimmte ich hiervon die Darstellungsmatrix?

05.05.2017, 15:03

IfindU

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RE: Darstellungsmatrix Bilinearform
$\begin{eqnarray*} \varphi : \mathbb R^3 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also ist die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{1 \times 3} \end{eqnarray*}$ gross. Du musst also $\begin{eqnarray*} a_1, a_2, a_3 \end{eqnarray*}$ bestimmen, so dass $\begin{eqnarray*} a_1 \cdot e_1^* (x,y,z) + a_2 \cdot e_2^* (x,y,z) + a_3 e_3^* (x,y,z) = 4z - 2x - 3y \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} e_i^* \end{eqnarray*}$ der i-te Vektor der Dualbasis ist. Das ist ein einfaches Gleichungssystem.

05.05.2017, 15:19

Mathematicax33

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RE: Darstellungsmatrix Bilinearform
Danke dir sehr !!

07.05.2017, 15:08

Mathematicax33

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RE: Darstellungsmatrix Bilinearform
Eine Frage hätte ich da noch..
mit e1(x,y,z) ist mit (x,y,z) der spaltenvektor gemeint oder ? D.h e1(x,y,z) multipliziert ist quasi das Sakalarprodukt ? Oder soll das eine Matrizenmultiplikation darstellen

07.05.2017, 15:36

Mathematicax33

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RE: Darstellungsmatrix Bilinearform
Meine Duale Basis ist:
$\begin{eqnarray*} B^{*}=(\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

So und mit deiner Vorgehensweise komme ich auf:
$\begin{eqnarray*} a_{1} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} (x,y,z)+ a_{2} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} (x,y,z)+ a_{3} \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix} (x,y,z)=4z-2x-3y \end{eqnarray*}$
-->
$\begin{eqnarray*} 1)a_{1} -a_{2} -2a_{3} =4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2)a_{1} -2a_{3}=-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3)-2a_{1} +2a_{2}+5a_{3} =-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{1}=8, a_{2}=-6, a_{3}=5 \end{eqnarray*}$

d.h meine Darstellungsmatrix wäre $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ -6 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , was aber nicht stimmen kann..denn bsp. wenn ich den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ auf die Abbildung schicke , müsste -2 rauskommen, meine Darstellungsmatrix aber 8 zeigt.
Ist die Darstellungsmatrix denn nicht einfach : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (weiß aber nicht wo der Zusammenhang da mit der Dualen Basis fällt bzw wie ich das argumentieren soll)

07.05.2017, 16:07

IfindU

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RE: Darstellungsmatrix Bilinearform

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot e_1^* (x,y,z) + a_2 \cdot e_2^* (x,y,z) + a_3 e_3^* (x,y,z) = 4z - 2x - 3y \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} e_i^* \end{eqnarray*}$ der i-te Vektor der Dualbasis ist. Das ist ein einfaches Gleichungssystem.

Bemerke, dass $\begin{eqnarray*} (x,y,z) = x e_1 + y e_2 + z e_3 \end{eqnarray*}$ . Damit ist $\begin{eqnarray*} e_1^*( x,y,z) = x \end{eqnarray*}$ . Wenigstens wenn man die Vektoren $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ so auffasst, und $\begin{eqnarray*} (e_i) \end{eqnarray*}$ die geordnete, gegebene, Basis ist.

07.05.2017, 16:18

Mathematicax33

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RE: Darstellungsmatrix Bilinearform
D.h ich hätte dann $\begin{eqnarray*} a_{1}x+2a_{2}y-2a_{3}z \end{eqnarray*}$
somit
$\begin{eqnarray*} a_{1} =-2, a_{2} =-1,5,a_{3} -2 \end{eqnarray*}$

mit Darstellungsmatrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ -1,5 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?
Aber auch hier klappt es bspweise wenn ich den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ abbilde nicht verwirrt

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