Potenzreihen: Beweis für Entwicklungsmittelpunkt 0 und Einheitskreis allgemeingültig?

05.05.2017, 15:07	sile5000	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihen: Beweis für Entwicklungsmittelpunkt 0 und Einheitskreis allgemeingültig? Hallo liebe Leute, ich schreibe gerade eine Seminararbeit. Darin sind alle Beweise für "standardisierte" Potenzreihen mit Konvergenzradius 1 und Entwicklungsmittelpunkt 0. Also $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n \end{eqnarray}$ . Ich weiß grob, dass die resultierenden Aussagen auch allgemeingültig für jede mögliche Potenzreihenentwicklung zutreffen sollen und die Beweise mit dieser Einschränkung einfacher gehalten werden. Allerdings steht in meiner Literatur jetzt dazu nichts und ich bin nicht sicher, ob meine Argumentation ausreichend ist. (läuft in meiner Literatur vermutlich unter Allgemeinwissen ) Ich kann ja jede beliebige Potenzreihenentwicklung mit einer Möbiustransformation in eine "standardisierte" Potenzreihe transformieren. Die Möbiustransformationen sind bijektiv. Fertig? Fehlt noch was? Vielen Dank für eure Hilfe
05.05.2017, 15:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihen: Beweis für Entwicklungsmittelpunkt 0 und Einheitskreis allgemeingültig? Ich weiß nicht was du unter Moebiustransformation verstehst. Aber ich vermute du hast recht, falls du Potenzreihen mit Konvergenzradius strikt zwischen 0 und unendlich meinst. Mit einer affinen Funktion $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ kann man in dem Fall jede Potenzreihe $\begin{eqnarray} Q(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n (z - z_0)^n \end{eqnarray}$ über eine Verkettung umschreiben zur Standardform $\begin{eqnarray} P(z) = Q(\phi(z)) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n \end{eqnarray}$ , wobei die letzte Potenzreihe nun Konvergenzradius 1 besitzt. Edit: Du meinst den Spezialfall der Möbiustransformation. Also passt das. Du musst nur überprüfen, ob die Verkettung mit einer affinen Funktion die Aussagen irgendwie betrifft. Pure Bijektivität reicht selten.
05.05.2017, 19:01	sile5000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Dann fühl ich mich jetzt etwas sicherer. Ich halte nochmal fest, was meine Gedanken sind: Für den Beweis bei einer Potenzreihe $\begin{eqnarray} Q(z) = \sum_{n=0}^\infty b_n (z-z_0)^n \end{eqnarray}$ mit Konvergenzradius $\begin{eqnarray} R=\frac{1}{r} \end{eqnarray}$ würde ich mit der affinen, konformen Möbiustransformation $\begin{eqnarray} \phi (z)=\frac{z}{r}+z_0 \end{eqnarray}$ eine Standardpotenzreihe erhalten $\begin{eqnarray} P(z)=Q(\phi(z))=\sum_{n=0}^\infty \frac{b_n}{r^n} (z)^n \end{eqnarray}$ . Um jetzt ein ähnliches Ergebnis, das für P(z) gilt, auch für Q(z) zu erhalten, müsste ich also den Beweis nochmal für $\begin{eqnarray} P(\psi(z))=Q(z),\; \psi(z)=rz-rz_0 \end{eqnarray}$ durchgehen. Gibt es Einwände? Das hat mir sehr geholfen =)
05.05.2017, 20:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das meinte ich. Allerdings wuerde ich nicht versuchen den Beweis noch einmal neu zu fuehren, sondern versuchen ihn auf die Verketung anzuwenden. Wenn du eine einfache Aussage mal hier aufschreibst, koennen wir mal gucken, ob das geht.
06.05.2017, 14:22	sile5000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also eine Aussage für die Teilsummen s ist z.B. $\begin{eqnarray} \text{Für jedes } R'\ge 1 \text{ gilt } \limsup\limits_{n \to \infty} \Big\{\max\limits_{\|z\|\le R'} \|s_n(z)\|\,\Big\}^{1/n} = R'. \end{eqnarray}$ Die müsste allgemein dann heißen: $\begin{eqnarray} \text{Für jedes } R'\ge 1 \text{ gilt } \limsup\limits_{n \to \infty} \Big\{\max\limits_{\|z-z_0\|\le \frac{R'}{r}} \|\tilde{s}_n(z)\|\,\Big\}^{1/n} = rR'. \end{eqnarray}$ Dass hinterm Gleichheitszeichen rR' stehen muss, weiß ich aber nur, weil ich den Beweis nochmal durchgegangen bin. Oder lässt sich das auch nur so sehen?
06.05.2017, 20:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Definiere $\begin{eqnarray} w(z) = \frac { z - z_0}r \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \tilde s(z) = s(w(z)) \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} \max_{\|z\| < R} \|s(z)\| = \max_{\|w(z)\| < R} \|s(w(z))\| = \max_{\|w(z)\| < R} \|\tilde s(z)\| \end{eqnarray}$ . Und endlich $\begin{eqnarray} \|w(z)\| < R \iff \|\frac { z - z_0}r\| < R \iff \|z - z_0\| < rR \end{eqnarray}$ . Damit also $\begin{eqnarray} \max_{\|z\| < R} \|s(z)\| = \max_{\|z - z_0\| < rR} \|\tilde s(z)\| \end{eqnarray}$ . Damit kann man es dann sehen. Als letzte Bemerkung ist, dass man bei den von dir geschriebenen Aussagen zwei verschiedene R' nimmt. Hoffe hab mich nicht vertan, kann aber gerade nicht gut schreiben.
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