Dezimalzahlen: Faktorieller Ring?

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manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »
Dezimalzahlen: Faktorieller Ring?
Hey Leute,

da wir in der Vorlesung bereits alle Körper und auch ganze Zahlen als faktoriell beschrieben haben, stellt sich mir die Frage ob der Ring der Dezimalzahlen auch faktoriell ist. Ein Integritätsbereich sind sie ja, fehlt nur noch die Eindeutigkeit der Zerlegung in irreduzible Faktoren bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit...

Da ich in den unendlichen Weiten des Internets nicht mal einen Anhaltspunkt gefunden habe, probier ichs hier nochmal.

Danke im Voraus

Manuel
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn der "Ring der Dezimalzahlen"? Meinst du ?
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

mit Dezimalzahlen meine ich alle Rationale Zahlen (a,b) mit a,b ganze Zahlen und Primfaktoren von b aus der Menge {2,5}. Im weiteren (wahrscheinlich um von irreduziblen Faktoren sprechen zu dürfen) betrachten wir genauer jene Rationale Zahlen mit obigen Bedingungen, incl. ggt(a,b)=1 ("Der Bruch ist bestmöglichst gekürzt").

Sprich das, was man sich unter Dezimalzahlen auch umgänglich vorstellt:

ZB.:

0,0042
434,2
80/100
45325/10000 usw.

Lg
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

... kurzum also die "abbrechenden Dezimalbrüche".
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

wird stimmen, kannte nur den Ausdruck zuvor nicht smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wir müßten uns zuerst überlegen, was die Einheiten des Rings sind. Das scheinen mir die Zahlen mit zu sein. Oder was meinst du?
 
 
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

Um ehrlich zu sein, haben wir bis jetzt nichts von einer "Einheit" gehört. Irreduzible Polynome, primitiv, Fundamentalsatz der Algebra sind mir aber ein Begriff.

Meistens besprechen wir nur Begriffe, die unbedingt notwendig für die Lösung der Aufgabe sind, um Verwirrung zu vermeiden. Ich studiere Lehramt im 2. Semester smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das wundert mich jetzt aber. Du willst untersuchen, ob ein Ring faktoriell ist, weißt aber nichts von Einheiten. Weißt du denn, was man unter einem Primelement versteht?

Einheiten sind diejenigen Ringelemente, die multiplikative Inverse besitzen (oder flapsiger: durch die man dividieren kann). Im Ring der ganzen Zahlen sind und die Einheiten. Wenn man durch diese Elemente dividiert, bleibt man in .

In unserem Ring der abbrechenden Dezimalbrüche ist eine Einheit, denn



Dagegen ist keine Einheit: ist für nicht lösbar. Man kann aber schreiben:



Die Elemente und unterscheiden sich daher nur um eine Einheit als Faktor. Man nennt solche Elemente assoziiert: .

Und Primelemente sind solche Elemente, die man nicht weiter ohne Verwendung von Einheiten multiplikativ zerlegen kann, für die also gilt:



Die beiden Elemente und sind also entweder beide Primelemente oder keines von beiden ist ein Primelement. Was ist der Fall?
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

ja davon habe ich gehört, wir haben das ganz grundlegend einfach "invertierbare Elemente" genannt.

Ja sämtliche Schritte kann ich verstehen, wie beweise ich denn nun, dass "Dezimalzahlen" faktoriell sind?
LG
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

mal ein kurzer Einwurf.
Jeder Hauptidealring ist faktoriell.
Dieser Ring hier ist ein Hauptidealring, das kann man entweder direkt nachweisen oder verwenden, dass er eine Lokalisierung eines Hauptidealrings ist.
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