Gleichheit zweier Mengen

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06.05.2017, 11:23	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit zweier Mengen Hi! Um die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen, möchte ich die folgende Aussage für gegebenes $\begin{eqnarray} y=(y_1,y_2) \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ zeigen: $\begin{eqnarray} [ \forall x=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 : ( \vert x_1 \vert^3 + \vert x_2 \vert^3 < 1 ) \Rightarrow ( \langle y,x \rangle <1 )] \Leftrightarrow [ \vert y_1 \vert^{3/2} + \vert y_2 \vert ^{3/2} \leq 1 ] \end{eqnarray}$ . (Es bezeichnet $\begin{eqnarray} \langle y ,x \rangle \end{eqnarray}$ das Standardskalarprodukt.) Die Richtung $\begin{eqnarray} `` \Leftarrow " \end{eqnarray}$ habe ich bereits gezeigt, die andere Richtung macht aber Probleme. (Versucht habe ich die Aussage direkt zu zeigen, oder per Kontraposition, oder per Widerspruch. Großartig erfolgreich war ich dabei nicht...) Die Aufgabe mag so etwas kontextlos aussehen, ich hoffe ihr habt trotzdem ein paar hilfreiche Tipps. Edit: Bereits gezeigt ist von der Menge $\begin{eqnarray} \{ y \in \mathbb{R}^2 \mid \forall x=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 : ( \vert x_1 \vert^3 + \vert x_2 \vert^3 < 1 ) \Rightarrow ( \langle y,x \rangle <1 ) \} \end{eqnarray}$ , dass sie konvex ist.
06.05.2017, 11:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit zweier Mengen Du musst nur ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ finden, so dass $\begin{eqnarray} \langle y, x \rangle = \|y_1\|^{3/2} + \|y_2\|^{3/2} \end{eqnarray}$ und, so dass $\begin{eqnarray} \|x_1\|^3 + \|x_2\|^3 < 1 \end{eqnarray}$ . Einfacher ist es, die Voraussetzung an $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} ... \leq 1 \end{eqnarray}$ abzuschwaechen.
06.05.2017, 13:53	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit zweier Mengen Ja, dessen war ich mir bewusst. Auch kann ich ja, da die Annahme für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ gilt, mein $\begin{eqnarray} x_1,x_2 \end{eqnarray}$ so wählen, dass $\begin{eqnarray} \langle y, x \rangle = \vert y_1 x_1 \vert + \vert y_2 x_2 \vert \end{eqnarray}$ . Ferner kann ich ja auch mit geeignetem $\begin{eqnarray} x \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ folgern, dass $\begin{eqnarray} \vert y_1 \vert , \vert y_2 \vert < 1 \end{eqnarray}$ . Meine Idee war es dann $\begin{eqnarray} x_1, x_2 \end{eqnarray}$ so zu wählen, dass $\begin{eqnarray} \vert x_2 \vert = \vert y_2 \vert ^{1/2} , \vert x_1 \vert = (1- \vert y_2 \vert ^{3/2} ) ^{1/3} \end{eqnarray}$ (letzteres geht, da $\begin{eqnarray} \vert y_2 \vert \leq 1 \end{eqnarray}$ ). Für dieses $\begin{eqnarray} x=(x_1, x_2) \end{eqnarray}$ gilt die Voraussetzung, und ich kann $\begin{eqnarray} \vert y_1 \vert (1- \vert y_2 \vert ^{3/2} ) ^{1/3} + \vert y_2 \vert ^{3/2} < 1 \end{eqnarray}$ folgern, aber das hilft mir auch nichts, weil ich im letzten Schritt ja genau die Ungleichung benötige, die ich eigentlich zeigen will ... Tl, dr: Ich stehe insgesamt noch am Anfang, und habe mein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nicht gefunden. Wie könnte ich das sinnvoll machen?
06.05.2017, 14:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ sieht gut aus. Nun hast du $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ so gewaehlt, dass es mit der Norm passt. Waehle stattdessen $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ unabaengig von der Beschraekung -- so wie du $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ gewaehlt hast. Nun kannst du $\begin{eqnarray} \tilde x = c \cdot x \end{eqnarray}$ definieren, wobei $\begin{eqnarray} c > 0 \end{eqnarray}$ so gewaehlt ist, dass $\begin{eqnarray} \\| \tilde x\\|_3 < 1 \end{eqnarray}$ gilt.
06.05.2017, 21:54	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin leider bis jetzt noch nicht zum Antworten gekommen. Meintest du mit abschwächen vorhin so, dass $\begin{eqnarray} \vert x_1 \vert + \vert x_2 \vert \leq 1 \Rightarrow \langle y , x \rangle < 1 \end{eqnarray}$ () ? Wieso schwächt das die Aussage? Mache ich so nicht das $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ künstlich kleiner? Würde ich () annehmen, so könnte ich die Aussage zeigen Danke dir!
07.05.2017, 05:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Also der Plan: 1) Waehle $\begin{eqnarray} x=(x_1, x_2) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x_1\| = \|y_1\|^{1/2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|x_2\| = \|y_2\|^{1/2} \end{eqnarray}$ . Finde $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} \tilde x = c x \end{eqnarray}$ die Bedingung $\begin{eqnarray} \|\tilde x_1\|^3 + \|\tilde x_2\|^3 < 1 \end{eqnarray}$ erfuellt. Rechne aus was $\begin{eqnarray} \langle \tilde x, y \rangle \end{eqnarray}$ ist und lasse $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ im Limes so gross wie moeglich werden. Leider bin ich ab gleich eine Weile unterwegs. Hoffe das hilft -- und ggf. jemand anders einspringen kann.
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07.05.2017, 10:58	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme leider immer noch nicht hin... Ich sehe, dass $\begin{eqnarray} c^3 \vert y_1 \vert ^{3/2} + c^3 \vert y_2 \vert ^{3/2}<1 \end{eqnarray}$ gelten soll, und damit $\begin{eqnarray} \vert y_1 \vert ^{3/2} + \vert y_2 \vert ^{3/2} < \frac{1}{c} \end{eqnarray}$ folgt. Aber leider sehe ich dadurch nicht, wie ich mein $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ wählen soll... Ich könnte ja $\begin{eqnarray} c=\frac{1}{ 2^{1/3} \cdot \max\limits_{i \in \{1,2\}} \vert y_i \vert ^{1/2} + \varepsilon} \end{eqnarray}$ wählen, und dann $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \varepsilon \to 0 \end{eqnarray}$ maximal werden lassen... Aber das führt mich leider nicht zum Ziel.
07.05.2017, 12:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre es mit $\begin{eqnarray} c=1/(\vert x_1 \vert^3 + \vert x_2 \vert^3 + \varepsilon ) \end{eqnarray}$ .
07.05.2017, 12:55	zinR	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaah! Meintest du $\begin{eqnarray} c = 1/(\vert x_1 \vert ^3 + \vert x_2 \vert ^3 + \varepsilon )^{1/3} \end{eqnarray}$ ? Damit könnte man folgern, dass $\begin{eqnarray} \vert y_1 \vert ^{3/2} + \vert y_2 \vert ^{3/2} \leq (\vert y_1 \vert ^{3/2} + \vert y_2 \vert ^{3/2})^{1/3} \end{eqnarray}$ , was ja die Behauptung impliziert! Genial! Danke!
07.05.2017, 16:08	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Huch! Genau das meinte ich. Sehr gut

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