Kurvenlänge

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Ms20 Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvenlänge
Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe folgende Aufgabe. (Siehe Bild)


Meine Ideen:
Zu a)

Ich weiss das sich die Länge eines Vektors durch die 2.Norm bestimmt werden kann.
Ich würde hier aufjedenfall die 2.Norm anwenden ist das eine gute Idee?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Möglichkeiten kennst du denn, um die Länge einer Kurve zu berechnen?
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

hm.. eigentlich weiß ich nur wie man die Länge eines Vektors berechnet.
Davor gab es eine Aufgabe und ich glaube es wäre gut wenn du mal nachschauen würdest ob ich in dieser Aufgabe alles richtig verstanden habe weil es für die Aktuelle Aufgabe relevant ist:

Gegeben ist eine kurve

i) Berechnen Sie den Tangentenvektor : Ging Problemlos sehr schnell
ii) Berechnen sie die Länge des Tangentenvektor : Ging Problemlos mit der Euklidischen Norm


iii) Berechnen Sie die Länge der Kurve für

: hatte damit Probleme

und ich glaube ich weiß jetzt wo mein fehler ist. Die länge einer Kurve wird nicht äquivalent bestimmt wie die Länge eines Vektors.

für iii) wie könnte ich die Länge dieser Kurve berechnen ? Was ist denn das Integral mit nur einer untergrenze verwirrt

tut mir leid das ich jetzt über eine anderen Aufgabe rede Forum Kloppe

vielen Dank für die Antworten
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ms20
iii) Berechnen Sie die Länge der Kurve für
[...]
für iii) wie könnte ich die Länge dieser Kurve berechnen ? Was ist denn das Integral mit nur einer untergrenze verwirrt

Eigentlich muss da über den Parameterbereich der Kurve integriert werden, nicht über selbst (hier wäre das das Intervall ).

Die Länge einer stetig differenzierbaren Kurve ist also .

Und mit dieser Formel kannst du jetzt Aufgabe a) lösen.
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also hätte ich dann

zu a)








stimmt das soweit ? und wie kann ich nun die Stammfunktion von

bestimmen ? verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig.

Weiter kannst du da nichts ausrechnen, wenn du die konkrete Funktion nicht kennst.

Dann zu Aufgabe b). Irgendwelche Ideen zu i.?
 
 
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Freude

zu i)

ich soll ja den Rechtsseitigen Grenzwert von der Funktion f(x) und von x*ln(x) bestimmen.



Wende Gremzwertsatz an :





Also ist noch zu bestimmen

Also dieser Grenzwert geht nach - unendlich weil umso mehr ich mich der 0 von rechts annähre umso größer wird die Zahl..
was sagst du dazu ? verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf diese Kleinigkeit nichts einzuwenden:
Zitat:
Original von ms20
weil umso mehr ich mich der 0 von rechts annähre umso größer wird die Zahl..

Schreibe besser: , weil . smile

Was ist also ?
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich das aber nicht irgendwie beweisen verwirrt
Also das wäre dann

0 - (- unendlich)

Ich frage mich jetzt ob ich das machen darf ?
Soweit ich weiß darf man ja nicht mit den Unendlich zeichen so rechnen als wären diese Zahlen...

und





und hier stellt sich wieder die frage kann ich einfach auf - unendlich die 0 Multiplizieren ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ms20
Ich frage mich jetzt ob ich das machen darf ?

Ja, das ist in Ordnung. Was man nicht machen darf, ist z.B. oder . Deswegen darf man die Umformung nicht durchführen.

Kennst du die Regel von l'Hospital? Damit kannst du den Grenzwert bestimmen.
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe diese Umformung dürfen wir nur bei konvergenten Funktionen machen wenn beide funktionen Konvergieren würden. ALso eigentlich wie bei Folgen die Grenzwertsätze gelten nur für Konvergente Folgen..
Aber ich frage mich dann wieso ich das davor machen konnte weil 1/2 ln(x) konvergiert ja nicht...
oder fasse ich gerade hier etwas falsch auf ?

Ja kenne ich wir haben hier den fall unendlich /unendlich

die Ableitung wäre



so ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ms20
Aber ich frage mich dann wieso ich das davor machen konnte weil 1/2 ln(x) konvergiert ja nicht...
oder fasse ich gerade hier etwas falsch auf ?

gilt auch im Fall uneigentlicher Konvergenz. (Außer einer der beiden Summanden rechts ist und der andere ; dann hätte man ja da stehen.)

Zitat:
Original von ms20


Das letzte Gleichheitszeichen gehört da nicht hin; es handelt sich ja um den Grenzübergang für .
Grenzwert 0 ist aber richtig.
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Echt jetzt ? das ist mir neu verwirrt

Das finde ich gerade sehr interesseant
Ich dachte immer das darf man nur bei Konvergenten Folgen bzw Funktionen.

Was meinst du mit uneigentliche Grenzwerte ? ist es das selbe wie bestimmte Divergenz ?

Was wäre denn zb ?


Das ist mir ein rätsel Big Laugh

Naja weiter zur

ii)

und weiter gilt und




stimmt das soweit ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ms20
Echt jetzt ? das ist mir neu verwirrt

Das finde ich gerade sehr interesseant

Dann kannst du ja irgendwann mal versuchen, diese "Erweiterung" zu beweisen. Augenzwinkern

Mit ueigentlicher Konvergenz meine ich das gleiche wie bestimmte Divergenz. Uneigentliche Grenzwerte sind also oder .

ist (wie man wohl intuitiv vermuten würde) wieder .

Zitat:
Original von ms20


Besser wäre es, du würdest den Grenzwert durch den einseitigen Grenzwert ersetzen würdest.
(Das ist sicherlich nur ein Tippfehler.)
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Warum wäre es besser verwirrt

Ok einmal haben wir



und dann

[latex] - \frac{1}{2}*( (ln(1)-1) \lim_{a \to 0+} a*(ln(a)-1) [ /latex]

und was ist [latex] \lim_{a \to 0+} a*(ln(a)-1) [ /latex] verwirrt
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich meine :
Zitat:
und was ist


so jz kann mans lesen
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ms20
Warum wäre es besser verwirrt

Weil wir von 0 bis 1 integrieren wollen; uns interessiert also nur der Bereich rechts von der Null. Abgesehen ist der Logarithmus für negative Zahlen überhaupt nicht definiert.

Was ist, steht eigentlich schon hier im Thread.
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann haben wir also einmal




dieser Grenzwert wurde schon Bewiesen und ist 0 und wir haben dann noch

und dieser Grenzwert ist auch 0.

Also haben wir insgesamt :



und weiter



Also haben wir



ist das soweit richtig ?

und heißt das das die fläche von unsere funktion mit der untergrenze 0 und 0bergrenze 1 -5/12 ist ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Vorzeichenfehler: Richtig ist .
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen dank Freude

zur nächsten Aufgabe.
Also muss ich das Integral von :



bestimmen.

Wie kann ich diese Bestimmen ? verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Zähler fehlt ein Quadrat:

Ich würde erstmal umformen: .

Und jetzt Substitution .
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre dann :




und davon die Stammfunktion wäre :




Also haben wir stimmt das verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal ist .

Und dann musst du natürlich erstmal integrieren, bevor du rücksubstituierst. Wozu willst du denn sonst substituieren?
(Denke auch daran, dass Differential zu substituieren.)


Edit: OK, vergiss das mit der Substitution. Hier geht es auch ohne. Augenzwinkern
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

hmm Also muss ich jetzt

Integrieren oder ? verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso steht da im Nenner plötzlich ?

Schreib am besten mal genau auf, wie du das Integral substituierst; inkl.

Und dann eben integrieren, rücksubstituieren, Grenzen einsetzen...
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe gerade das ich nur mist mache Forum Kloppe

nochmal :












jetzt muss es doch stimmen
ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das stimmt zur nächsten Aufgabe schonmal meine Überlegungen :


Das uneigentliche Integral würde nur existieren falls

existiert.

Ich habe mir dazu ein paar überlegungen gemacht und ich finde das dieser Grenzwert nicht existiert.

Der Zähler würde gegen - unendlich gehen und unendlich durch 4 geht nun mal nicht. Ich habe versucht das mit dem Folgenkriterium zu wiederlegen doch komme nicht 2 folgen die unterschiedliche Grenzwerte bringen..
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Begründe das doch einfach mit .
Ms20 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ok ich hätte jetzt gedacht das das nicht ausreichen würde weil in der Funktion ln(x)*x ging ja auch ln(x) gegen - unendlich doch trotzdem hatte die Funktion einen Grenzwert Mit Zunge
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