Kurvenlänge |
07.05.2017, 14:44 | Ms20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kurvenlänge Hallo alle zusammen ich habe folgende Aufgabe. (Siehe Bild) Meine Ideen: Zu a) Ich weiss das sich die Länge eines Vektors durch die 2.Norm bestimmt werden kann. Ich würde hier aufjedenfall die 2.Norm anwenden ist das eine gute Idee? |
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07.05.2017, 15:54 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Welche Möglichkeiten kennst du denn, um die Länge einer Kurve zu berechnen? |
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07.05.2017, 17:14 | ms20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hm.. eigentlich weiß ich nur wie man die Länge eines Vektors berechnet. Davor gab es eine Aufgabe und ich glaube es wäre gut wenn du mal nachschauen würdest ob ich in dieser Aufgabe alles richtig verstanden habe weil es für die Aktuelle Aufgabe relevant ist: Gegeben ist eine kurve i) Berechnen Sie den Tangentenvektor : Ging Problemlos sehr schnell ii) Berechnen sie die Länge des Tangentenvektor : Ging Problemlos mit der Euklidischen Norm iii) Berechnen Sie die Länge der Kurve für : hatte damit Probleme und ich glaube ich weiß jetzt wo mein fehler ist. Die länge einer Kurve wird nicht äquivalent bestimmt wie die Länge eines Vektors. für iii) wie könnte ich die Länge dieser Kurve berechnen ? Was ist denn das Integral mit nur einer untergrenze tut mir leid das ich jetzt über eine anderen Aufgabe rede vielen Dank für die Antworten |
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07.05.2017, 17:28 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eigentlich muss da über den Parameterbereich der Kurve integriert werden, nicht über selbst (hier wäre das das Intervall ). Die Länge einer stetig differenzierbaren Kurve ist also . Und mit dieser Formel kannst du jetzt Aufgabe a) lösen. |
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07.05.2017, 19:05 | ms20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok also hätte ich dann zu a) stimmt das soweit ? und wie kann ich nun die Stammfunktion von bestimmen ? |
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07.05.2017, 19:18 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das ist richtig. Weiter kannst du da nichts ausrechnen, wenn du die konkrete Funktion nicht kennst. Dann zu Aufgabe b). Irgendwelche Ideen zu i.? |
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07.05.2017, 20:10 | ms20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok zu i) ich soll ja den Rechtsseitigen Grenzwert von der Funktion f(x) und von x*ln(x) bestimmen. Wende Gremzwertsatz an : Also ist noch zu bestimmen Also dieser Grenzwert geht nach - unendlich weil umso mehr ich mich der 0 von rechts annähre umso größer wird die Zahl.. was sagst du dazu ? |
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07.05.2017, 20:18 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bis auf diese Kleinigkeit nichts einzuwenden:
Schreibe besser: , weil . Was ist also ? |
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07.05.2017, 20:35 | ms20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Muss ich das aber nicht irgendwie beweisen Also das wäre dann 0 - (- unendlich) Ich frage mich jetzt ob ich das machen darf ? Soweit ich weiß darf man ja nicht mit den Unendlich zeichen so rechnen als wären diese Zahlen... und und hier stellt sich wieder die frage kann ich einfach auf - unendlich die 0 Multiplizieren ? |
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07.05.2017, 20:54 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das ist in Ordnung. Was man nicht machen darf, ist z.B. oder . Deswegen darf man die Umformung nicht durchführen. Kennst du die Regel von l'Hospital? Damit kannst du den Grenzwert bestimmen. |
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07.05.2017, 21:09 | ms20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich verstehe diese Umformung dürfen wir nur bei konvergenten Funktionen machen wenn beide funktionen Konvergieren würden. ALso eigentlich wie bei Folgen die Grenzwertsätze gelten nur für Konvergente Folgen.. Aber ich frage mich dann wieso ich das davor machen konnte weil 1/2 ln(x) konvergiert ja nicht... oder fasse ich gerade hier etwas falsch auf ? Ja kenne ich wir haben hier den fall unendlich /unendlich die Ableitung wäre so ? |
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07.05.2017, 21:22 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
gilt auch im Fall uneigentlicher Konvergenz. (Außer einer der beiden Summanden rechts ist und der andere ; dann hätte man ja da stehen.)
Das letzte Gleichheitszeichen gehört da nicht hin; es handelt sich ja um den Grenzübergang für . Grenzwert 0 ist aber richtig. |
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07.05.2017, 21:48 | ms20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Echt jetzt ? das ist mir neu Das finde ich gerade sehr interesseant Ich dachte immer das darf man nur bei Konvergenten Folgen bzw Funktionen. Was meinst du mit uneigentliche Grenzwerte ? ist es das selbe wie bestimmte Divergenz ? Was wäre denn zb ? Das ist mir ein rätsel Naja weiter zur ii) und weiter gilt und stimmt das soweit ? |
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07.05.2017, 21:57 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann kannst du ja irgendwann mal versuchen, diese "Erweiterung" zu beweisen. Mit ueigentlicher Konvergenz meine ich das gleiche wie bestimmte Divergenz. Uneigentliche Grenzwerte sind also oder . ist (wie man wohl intuitiv vermuten würde) wieder .
Besser wäre es, du würdest den Grenzwert durch den einseitigen Grenzwert ersetzen würdest. (Das ist sicherlich nur ein Tippfehler.) |
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07.05.2017, 23:03 | ms20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum wäre es besser Ok einmal haben wir und dann [latex] - \frac{1}{2}*( (ln(1)-1) \lim_{a \to 0+} a*(ln(a)-1) [ /latex] und was ist [latex] \lim_{a \to 0+} a*(ln(a)-1) [ /latex] |
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07.05.2017, 23:33 | ms20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also ich meine :
so jz kann mans lesen |
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08.05.2017, 10:14 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Weil wir von 0 bis 1 integrieren wollen; uns interessiert also nur der Bereich rechts von der Null. Abgesehen ist der Logarithmus für negative Zahlen überhaupt nicht definiert. Was ist, steht eigentlich schon hier im Thread. |
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08.05.2017, 10:56 | ms20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok dann haben wir also einmal dieser Grenzwert wurde schon Bewiesen und ist 0 und wir haben dann noch und dieser Grenzwert ist auch 0. Also haben wir insgesamt : und weiter Also haben wir ist das soweit richtig ? und heißt das das die fläche von unsere funktion mit der untergrenze 0 und 0bergrenze 1 -5/12 ist ? |
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08.05.2017, 20:10 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vorzeichenfehler: Richtig ist . |
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08.05.2017, 20:37 | ms20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok vielen dank zur nächsten Aufgabe. Also muss ich das Integral von : bestimmen. Wie kann ich diese Bestimmen ? |
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08.05.2017, 20:57 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Zähler fehlt ein Quadrat: Ich würde erstmal umformen: . Und jetzt Substitution . |
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08.05.2017, 21:11 | ms20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das wäre dann : und davon die Stammfunktion wäre : Also haben wir stimmt das |
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08.05.2017, 21:15 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Erstmal ist . Und dann musst du natürlich erstmal integrieren, bevor du rücksubstituierst. Wozu willst du denn sonst substituieren? (Denke auch daran, dass Differential zu substituieren.) Edit: OK, vergiss das mit der Substitution. Hier geht es auch ohne. |
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08.05.2017, 21:25 | ms20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm Also muss ich jetzt Integrieren oder ? |
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08.05.2017, 21:28 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso steht da im Nenner plötzlich ? Schreib am besten mal genau auf, wie du das Integral substituierst; inkl. Und dann eben integrieren, rücksubstituieren, Grenzen einsetzen... |
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08.05.2017, 21:35 | ms20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich sehe gerade das ich nur mist mache nochmal : jetzt muss es doch stimmen |
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08.05.2017, 21:59 | ms20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn das stimmt zur nächsten Aufgabe schonmal meine Überlegungen : Das uneigentliche Integral würde nur existieren falls existiert. Ich habe mir dazu ein paar überlegungen gemacht und ich finde das dieser Grenzwert nicht existiert. Der Zähler würde gegen - unendlich gehen und unendlich durch 4 geht nun mal nicht. Ich habe versucht das mit dem Folgenkriterium zu wiederlegen doch komme nicht 2 folgen die unterschiedliche Grenzwerte bringen.. |
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09.05.2017, 09:36 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Begründe das doch einfach mit . |
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09.05.2017, 09:55 | Ms20 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm ok ich hätte jetzt gedacht das das nicht ausreichen würde weil in der Funktion ln(x)*x ging ja auch ln(x) gegen - unendlich doch trotzdem hatte die Funktion einen Grenzwert |
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