Vectornorm und Ax = b Beweis

07.05.2017, 17:17	SRG	Auf diesen Beitrag antworten »
Vectornorm und Ax = b Beweis Hallo leute, so ich habe mich jetzt angemeldet weil ich wohl noch einige Fragen habe und in Zukunft auch eher mehr als weniger Gegeben: A als sym. matrix V als orthogonale matrix mit V = (v1, ... , vn) wobei vi = eigenvektor B als diagonale matrix B = diag(lambda 1, ... , lambda n) wobei lambda = eigenvalue Es gilt weiterhin das Theorem V^T A V = B. und ai = vi^T * x Ich soll nachfolgendes beweisen: $\begin{eqnarray} x = \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|^{2}_{2} = \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}^{2} \end{eqnarray*}$ ihr müsst mir keine Lösung geben, aber ich hab echt keine ahnung und fummel schon seit stunden rum
07.05.2017, 18:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
V ist orthogonale Matrix, d.h. die Spalten von V sind eine Orthonormalbasis des reellen Vektorraums der Dimension n.
07.05.2017, 18:32	SRG	Auf diesen Beitrag antworten »
hm. ok leider leuchtet noch nichts ;/
07.05.2017, 18:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist eine Basis eines Vektorraums ? Genauer : Was gilt für für einen beliebigen Vektor x bezüglich einer Basis ?
07.05.2017, 18:54	SRG	Auf diesen Beitrag antworten »
Also eine Basis ist eine Menge von Vektoren die lin. unabh. sind und es gilt das der Span der vektoren gleich dem Vektorraum entspricht. Ich kann alle Vektoren in dem Raum mit Hilfe einer Basis und entsprechenden Koeffizienten darstellen. Mehr fällt mir gerade nicht ein
07.05.2017, 19:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das reicht doch schon für die erste Antwort. Jeder Vektor x lässt sich eindeutig in dieser Basis darstellen, genau das ist die Behauptung $\begin{eqnarray} x = \sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} \end{eqnarray*}$ Und nun berechne die Norm zu Quadrat, wenn die vi's eine ONB sind.
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07.05.2017, 19:11	SRG	Auf diesen Beitrag antworten »
Das reicht als beweis? ich dachte ich muss irgendwas herleiten etc.. vllt. hab ich aber auch noch nicht ganz verstanden was genau die formel bzw. ai = vi^T x bedeutet.
07.05.2017, 19:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
das habe ich übersehen. du hast ja auch nicht gesagt, dass du das beweisen willst. rechne es aus, vi's sind orthonormal
07.05.2017, 19:23	SRG	Auf diesen Beitrag antworten »
doch ich habe hingeschrieben "ich soll nachfolgendes beweisen" . Jetzt hast mich voll rausgebracht
07.05.2017, 19:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
du hast NICHT geschrieben "ich soll beweisen, ai = vi^T * x " mach es trotzdem, es ist ja sooo leicht
07.05.2017, 19:28	SRG	Auf diesen Beitrag antworten »
achso nein das nicht. nur die anderen beiden hehe. Das ist gegeben
08.05.2017, 15:58	SRG	Auf diesen Beitrag antworten »
ok also den ersten habe ich verstanden. Mein Ansatz für zwei wäre: $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|^{2}_{2} = <x,x>^2 = (x^Tx)^2 \end{eqnarray}$ jetzt hänge ich aber mit dem transponieren von ai = vi^T * x
08.05.2017, 18:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist noch kein sinnvoller Ansatz, und falsch ist es auch noch. Ein Ansatz wäre $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|^2=<x,x>=<\sum_{i=1}^na_iv_i,\sum_{j=1}^na_jv_j> \end{eqnarray}$ Genau so setzt man an $\begin{eqnarray} <v_i,x>=<v_i,\sum_{j=1}^na_jv_j> \end{eqnarray}$ Und dann kann man in beiden Fällen die Bilinearität des Skalarprodukts benutzen und danach die Orthonormalität der Eigenvektorbasis.

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