Vectornorm und Ax = b Beweis

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Vectornorm und Ax = b Beweis
Hallo leute, so ich habe mich jetzt angemeldet weil ich wohl noch einige Fragen habe und in Zukunft auch eher mehr als weniger Big Laugh


Gegeben:
A als sym. matrix
V als orthogonale matrix mit V = (v1, ... , vn) wobei vi = eigenvektor
B als diagonale matrix B = diag(lambda 1, ... , lambda n) wobei lambda = eigenvalue
Es gilt weiterhin das Theorem V^T A V = B.
und ai = vi^T * x

Ich soll nachfolgendes beweisen:


sowie


ihr müsst mir keine Lösung geben, aber ich hab echt keine ahnung und fummel schon seit stunden rum unglücklich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

V ist orthogonale Matrix, d.h. die Spalten von V sind eine Orthonormalbasis des reellen Vektorraums der Dimension n.
 
 
SRG Auf diesen Beitrag antworten »

hm. ok leider leuchtet noch nichts ;/
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist eine Basis eines Vektorraums ? Genauer : Was gilt für für einen beliebigen Vektor x bezüglich einer Basis ?
SRG Auf diesen Beitrag antworten »

Also eine Basis ist eine Menge von Vektoren die lin. unabh. sind und es gilt das der Span der vektoren gleich dem Vektorraum entspricht.

Ich kann alle Vektoren in dem Raum mit Hilfe einer Basis und entsprechenden Koeffizienten darstellen.

Mehr fällt mir gerade nicht ein smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das reicht doch schon für die erste Antwort. Jeder Vektor x lässt sich eindeutig in dieser Basis darstellen, genau das ist die Behauptung

Und nun berechne die Norm zu Quadrat, wenn die vi's eine ONB sind.
SRG Auf diesen Beitrag antworten »

Das reicht als beweis? ich dachte ich muss irgendwas herleiten etc..

vllt. hab ich aber auch noch nicht ganz verstanden was genau die formel bzw. ai = vi^T x bedeutet.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hammer das habe ich übersehen. du hast ja auch nicht gesagt, dass du das beweisen willst. rechne es aus, vi's sind orthonormal
SRG Auf diesen Beitrag antworten »

doch ich habe hingeschrieben "ich soll nachfolgendes beweisen" Big Laugh . Jetzt hast mich voll rausgebracht
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

du hast NICHT geschrieben "ich soll beweisen, ai = vi^T * x "
mach es trotzdem, es ist ja sooo leicht Augenzwinkern
SRG Auf diesen Beitrag antworten »

achso smile nein das nicht. nur die anderen beiden hehe. Das ist gegeben Big Laugh
SRG Auf diesen Beitrag antworten »

ok also den ersten habe ich verstanden. Mein Ansatz für zwei wäre:



jetzt hänge ich aber mit dem transponieren von ai = vi^T * x
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist noch kein sinnvoller Ansatz, und falsch ist es auch noch. Ein Ansatz wäre
Genau so setzt man an

Und dann kann man in beiden Fällen die Bilinearität des Skalarprodukts benutzen und danach die Orthonormalität der Eigenvektorbasis.
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