Dgl und ihre (eindeutige) Lösbarkeit

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rüven Auf diesen Beitrag antworten »
Dgl und ihre (eindeutige) Lösbarkeit
Die Aufgabe befindet sich im Anhang.
Die DGL kann ja einfach mit separieren gelöst werden, die Schritte spar ich mir mal.
Lsg. ist:

Nach c umgestellt:


Soweit sogut, nun das Awp y(y0)=x0 einsetzen.

So, ich erschließe mir jetzt, dass Awp. fuer alle und \ eindeutig loesbar ist. Stimmt das soweit?

Jetzt soll ich die DGL fuer das Awp. von y(0)=0 loesen, dafuer existiert also scheinbar keine eindeutige Loesung. Man wuerde ja beim Bestimmen von c durch 0 teilen. (dort ist die Polstelle)
Wie gehe ich das jetzt also vor? Mach ich da jetzt was mit dem Richtungsfeld oder so? Ich stehe gerade auf dem Schlauch. verwirrt
rüven Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mir jetzt folgendes ueberlegt. Die Tangentialvektoren haben ja alle die Form
Hab mir das ganze jetzt mal verbildlicht und fuer y(0)=0 ist in meinen Augen die einzige Loesung, denn dort gehen die Tangentialvektoren praktisch alle mit dem konstanten Anstieg 0 nach rechts?
In dem Falle waere also die DGL fuer alle x0 und y0 element R definiert.
Da die DGL ist und G stetig auf ganz R^2 ist. Da x0,y0 ebenfalls element von R^2 sind muss es dort fuer jedes AWP eine eindeutige Loesung geben.
Jetzt bin ich noch verwirrter als vorher verwirrt
 
 
allahahbarpingok Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]44416[/attach]


Lies den Teil über Nullstellen genau durch. Genau dieser Fall liegt hier vor bei deinem AWP. Deswegen muss man bei separierbaren DGL eigentlich auch immer Nullstellen bestimmen. Die konstante Lösung ist dann eindeutig, wenn der Term f(y) lipschitz stetig ist. Wink
rüven Auf diesen Beitrag antworten »

Dann waere doch y(x)=0 die Loesung oder?
Denn y(0)=0
und y'(x)=0=y^2(x) gilt fuer alle x element R.
y^2 ist doch stetig (im Pkt. (0,0)) d.h. nach dem Existenz und Eindeutigkeitssatz existiert dort genau eine Loesung und diese ist dann auf ganz R definiert.

Ich hab mal in unserem Script geschaut und Lipschitz Stetigkeit wird bei uns nicht behandelt. Allerdings studiere ich auch nicht Mathematik.
Partialius Auf diesen Beitrag antworten »

Ja in der c) steht doch sowieso schon, dass sie eindeutig ist LOL Hammer
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