Integral vom Integral

07.05.2017, 21:38	Kamix	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral vom Integral Meine Frage: Guten Abend,ich muss eine Aufgabe lösen, bei der man eine Gleichung beweisen muss, in der Integrale vorkommen: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{x} \! (\int_{0}^{s} \! f(k) \, dk ) \, ds =\int_{0}^{x} \! f(k) \left(x-k\right) dk \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Meine Lösungsidee ist, mit dem Hauptsatz der Diff/Integr.rechnung beide Integrale zu berechnen und dann nach dx zu differenzieren. Bei der linken Seite erhalte ich F(F(x))-F(F(0), und dann nach dx abgeleitet F(x)-F(0). Die rechte Seite müsste also das selbe sein. Dort erhalte ich aber für das Integral F(F(x))-F(0)x-F(F(0)), nach dx abgeleitet also F(x)-f(0)x-2F(0). Entweder -f(0)x+F(0) ist 0 oder ich habe mich verrechnet. Kann mir jemand mit der rechten Seite helfen?
07.05.2017, 21:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Deinen Weg mit F(F(x)) vermag ich nicht im entferntesten nachvollziehen. Vertausche doch einfach die Integrationsreihenfolge: Es wird über das Dreieck $\begin{align} \{ (k,s) \mid 0\leq k\leq s\leq x\} \end{align}$ integriert. Das ergibt nach Fubini $\begin{align} \int\limits_0^x \int\limits_0^s f(k) ~ \dd k ~ \dd s = \int\limits_0^x \int\limits_k^x f(k) ~ \dd s ~ \dd k \end{align}$ , und die rechte Seite kann man dann noch vereinfachen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »