Konvergenz gegen 0

08.05.2017, 13:27	AllRighto	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz gegen 0 Meine Frage: Hey, ich habe total Probleme mit der Aufgabe, die ich bis Freitag lösen muss.. Kann mir da jemand weiterhelfen? Bin völlig am Verzweifeln. Meine Ideen: -
08.05.2017, 13:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Gar keine Ideen? Auch nicht mit Hilfe des Hinweises bei (a)? Die dort hingeschriebene Ungleichung kann man per Vollständiger Induktion über $\begin{align} n \end{align}$ beweisen: Als Vorarbeit widmet man sich erstmal dem Begriff "fast alle $\begin{align} n\in\mathbb{N} \end{align}$ ": Was bedeutet das? Es bedeutet "alle bis auf endlich viele". Betrachten wir diese endlich vielen Ausnahmen, so haben die auch irgendein endliches Maximum. Wir betrachten nun $\begin{align} N \end{align}$ so groß, dass alle Ausnahmewerte $\begin{align} n \end{align}$ kleiner als dieses $\begin{align} N \end{align}$ sind, so dass wir Voraussetzung $\begin{align} \left\| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right\| \leq c \end{align}$ nunmehr für alle (!) $\begin{align} n\geq N \end{align}$ annehmen dürfen. Und genau bei jenem $\begin{align} n=N \end{align}$ ist der Induktionsanfang angesiedelt. ---------------- Zu (b) Wir könenn hier also voraussetzen, dass es einen Wert $\begin{align} g\in [0,1) \end{align}$ gibt mit $\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left\| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right\| = g \end{align}$ . Denk nun an die klassische $\begin{align} \varepsilon \end{align}$ -Definition des Grenzwertes von Folgen: Die besagt, dass es für alle $\begin{align} \varepsilon>0 \end{align}$ ein $\begin{align} n_0 \end{align}$ gibt, so dass $\begin{align} g-\varepsilon < \left\| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right\| < g+\varepsilon \end{align}$ für alle $\begin{align} n\geq n_0 \end{align}$ gilt. Wähle nun ein zu $\begin{align} g \end{align}$ "passendes" $\begin{align} \varepsilon \end{align}$ , und schon hast du (a) im Sack. ---------------- Zu (c) Auch durch den Hinweis zu (a) sollte nun langsam klar sein, dass solche Folgen mindestens ebenso stark fallen wie geometrische Folgen. Als Gegenbeispiel hier wählt man hier eine "langsamer" fallende Nullfolge, ich sag einfach mal: $\begin{align} a_n = \frac{1}{n} \end{align}$ . ---------------- Zu (d) Gilt $\begin{align} \left\| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right\| < 1 \end{align}$ für alle $\begin{align} n\geq N \end{align}$ , so ist die Folge $\begin{align} \|a_n\| \end{align}$ ab $\begin{align} n\geq N \end{align}$ monoton fallend, nach unten durch 0 beschränkt ist sie sowieso, und damit auch konvergent. Allerdings folgt aus der Existenz von $\begin{align} \lim_{n\to\infty} \|a_n\| \end{align}$ nicht zwingend auch die Existenz von $\begin{align} \lim_{n\to\infty} a_n \end{align}$ , außer bei Grenzwert 0. Was wir also suchen ist eine streng monoton fallende Folge $\begin{align} \|a_n\| \end{align}$ , die nicht gegen Null konvergiert, und die versehen wir dann noch mit alternierenden Vorzeichen...
08.05.2017, 20:07	AllRighto	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, aber... Danke! Den Ansatz verstehe ich, jedoch habe ich keine Ahnung, wie ich dies aufschreiben soll..:
08.05.2017, 23:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf durchdachte Nachfragen (denen man auch anmerkt, dass du dich wirklich inhaltlich mit dem Thema befasst hast) gibt's auch konkrete Antworten. Auf solche Allgemeinplätze wie jetzt eben nicht, jedenfalls nicht von mir.

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