Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

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08.05.2017, 16:56	chopchop	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit von Vektoren Meine Frage: Hallo ich sitze hier vor einem wohlmöglich trivialem Beweis.. Es seien K ein Körper, V ein Vektorraum und v0,...,vm aus V beliebige (m+1) Vektoren. Zeigen Sie, dass die m Vektoren v1-v0,....,vm-vo genau dann linear unabhänhig sind, wenn die m Vektoren v0-v1,v2-v1,..,vm-v1 linear unabhängig sind. Meine Ideen: Also was Linearität ist weiß ich...aber qie soll man das zeigen? Wäre dankbar für jeden Tip LG
08.05.2017, 17:16	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest beispielsweise die Gleichung $\begin{align} 0=\sum_{k=1}^m \lambda_k(v_k-v_0) \end{align}$ so umstellen, dass sie die Gestalt $\begin{align} 0=\beta_1(v_0-v_1)+\sum_{k=2}^m \beta_k(v_k-v_1) \end{align}$ bekommt.
08.05.2017, 17:21	chopchop	Auf diesen Beitrag antworten »
oh danke ! das mit den Summen ist eine sehr gute Idee aber wieso sind diese gleich 0 gestellt? die vektoren solle doch linear unabhängig sein.. LG
08.05.2017, 17:24	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Eben. Vektoren sind linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur auf triviale Weise durch sie kombinieren lässt.
08.05.2017, 17:58	chopchop	Auf diesen Beitrag antworten »
okay ich hab es jetzt soweit umgeformt, dass ich nicht auf deine letzte Gleichung gekommen bin...aber auf $\begin{eqnarray} <br /> \lambda_1(v_0-v1) + \sum\limits_{k=2}^{m} \lambda_k (v_0-v_k )<br /> \end{eqnarray}$ gekommen...wo liegt mein Fehler ? LG
08.05.2017, 18:23	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich Dir nicht sagen, da Du nur das Ergebnis gepostet hast. Vielleicht schreibst Du Dir die Gleichung erst einmal für m=3 auf und führst dann die Umformung durch. Eventuell wird dir das System dann klarer. Ich bin erst einmal eine weile weg. Evt. hilft Dir zwischenzeitlich jemand anderes.
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08.05.2017, 19:13	chopchop	Auf diesen Beitrag antworten »
okay..hier meine ganze Gleichung...ich komme einfach nicht auf meinen Fehler :/ $\begin{eqnarray} 0 = \sum\limits_{k=1}^{m} \lambda_k (v_k - v_0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leftrightarrow 0= \lambda_1(v_1-v_0) +\sum\limits_{k=2}^{m} \lambda_k (v_k - v_0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leftrightarrow \lambda_1(v_0-v_1)= \sum\limits_{k=2}^{m} \lambda_k (v_k - v_0)\leftrightarrow \text{ la}<br /> \end{eqnarray}$ Danke, dass du mich überhaupt soweit gebracht hast Edit (mY+): LaTeX berichtigt.
08.05.2017, 19:17	chopchop	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> 0 = \sum\limits_{k=1}^{m} \lambda_k (v_k - v_0)<br /> \leftrightarrow 0= \lambda_1(v_1-v_0) +\sum\limits_{k=2}^{m} \lambda_k (v_k - v_0)<br /> \leftrightarrow<br /> \lambda_1(v_0-v_1)= \sum\limits_{k=2}^{m} \lambda_k (v_k - v_0)<br /> <br /> \leftrightarrow \lambda_1(v_0-v_1) +\sum\limits_{k=2}^{m} \lambda_k (v_0 - v_k)=0<br /> \end{eqnarray}$
08.05.2017, 23:52	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie oben schon gesagt ist es hilfreich, sich den Sachverhalt für kleines m einmal klar zu machen, wenn man nicht gleich den allgemeinen Ansatz hinbekommt. Nehmen wir mal den einfachen Fall m=2. Dann ist $\begin{align} \sum_{k=1}^2 \lambda_k(v_k-v_0) = \lambda_1(v_1-v_0) +\lambda_2(v_2-v_0) = (-\lambda_1-\lambda_2)(v_0-v_1)+\lambda_2(v_2-v_1) \end{align}$ Folglich wäre hier $\begin{align} \beta_1=-\lambda_1-\lambda_2 \end{align}$ und $\begin{align} \beta_2=\lambda_2 \end{align}$ .

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