Welche Mengen sind Unterrräume des R3

08.05.2017, 19:52	Zeroskill	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Mengen sind Unterrräume des R3 Meine Frage: Guten Tag allerseits, es geht um folgende Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} a,b,c \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Welche der folgenden Mengen sind Unterräume des $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ ? a) Die Menge aller Vektoren $\begin{eqnarray} (a,0,0)^{T} \end{eqnarray}$ b) die Vektoren der Form $\begin{eqnarray} (1,b,1)^{T} \end{eqnarray}$ c) die Vektoren $\begin{eqnarray} (a,b,c)^{T} \end{eqnarray}$ mit c = a + b d) die Vektoren $\begin{eqnarray} (a,b,c)^{T} \end{eqnarray}$ mit b = a + c + 2 Meine Ideen: Nun ob die Mengen Unterräume des $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ sind wird meiner Meinung nach nach dem Schema: 1. $\begin{eqnarray} \exists a,b \in U : a + b \in U \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \exists \lambda \in \mathbb R : \lambda a \in U \end{eqnarray}$ "bewiesen", also wenn mindestens eine der beiden Bedingungen verletzt ist, ist U kein Teilraum der Menge. Zusätzlich gilt noch, dass folgende Teilräume auch Teilräume des $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ sind: 1. trivialer Teilraum $\begin{eqnarray} 0 = (0,0,0)^{T} \end{eqnarray}$ 2. alle Geraden, die durch (0,0,0) verlaufen 3. $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ 4. alle Ebenen, die den Punkt (0,0,0) enthalten Somit meine Gedankengänge: a.) Da die Menge den Punkt (0,0,0) für a = 0 enthält ist Sie ein Unterraum von $\begin{eqnarray} /mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ b.) Da 2 Vektoren der Menge, z.B. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ b \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2b \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist damit die 1. Regel gebrochen, da $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 2b \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kein Element der Menge U ist. c.) Da diese Menge den Punkt (0,0,0) enthält (a = 0, b = 0, c = 0 erfüllt die Gleichung c = a + b) ist die Menge ein Unterraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ . d.) Da diese Menge den Punkt (0,0,0) NICHT enthält (a = 0, b = 0, c = 0 erfüllt die Gleichung b = a + c + 2 NICHT, da 0 = 2 stehen bleiben würde) ist Sie auch kein Unterraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ . Mir kommen diese "Beweise etwas banal vor, klar ist Mathematik nicht immer schwierig aber ich werde das Gefühl nicht los, dass ich da etwas ganz grundlegend falsch verstanden habe, kann mir da jemand weiterhelfen? Mit freundlichen Grüßen Max
08.05.2017, 19:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die Quantoren verwechselt. ein Untervektorraum darf nicht leer sein und muss ALLE Summen von Vektoren und ALLE skalaren Vielfachen von Vektoren enthalten.
08.05.2017, 20:19	Soulwear	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe vergessen mich einzuloggen bevor ich den Beitrag gepostet habe.. Ändern würde dieses Missverständnis aber nichts an den Begründungen die ich geschrieben habe, oder? Außer evtl. an der Begründung für Aufgabe c)? Für Aufgabe a) ist es ja egal, welche Vektoren ich bilde und dann summiere und auch skalare Vielfache von a kann ich mit der Menge darstellen. Bei Aufgabe b) passt das was du geschrieben hast mit meiner Begründung ja zusammen, da $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 2b \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ja kein Vektor der Menge der Vektoren der Form $\begin{eqnarray} (1,b,1)^{T} \end{eqnarray}$ ist. Bei Aufgabe c) wäre es nun so, dass die Gleichung c = a + b nicht für alle Vektoren erfüllt ist (beispielsweise Vektor $\begin{eqnarray} (1,3,2) \Rightarrow 2 \neq 1 + 3 \end{eqnarray}$ ) und somit auch kein Unterraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{3} \end{eqnarray}$ ist. Bei Aufgabe d) passt das nun auch noch. Habe ich deine Antwort nur komplett falsch verstanden oder passt das so? Mit freundlichen Grüßen Max
08.05.2017, 21:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst dringend an deiner Logik arbeiten, denn sie unterscheidet sich erheblich von der Logik anderer. Tipp: Fange noch einmal von vorne an und benutze das Untervektorraumkriterium so, wie es definiert und bewiesen wurde.

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