Ausgleichsrechnung

08.05.2017, 21:45

Sito

Ausgleichsrechnung

Guten Abend zusammen,

ich habe folgende Aufgabe:
Die Parameter $\begin{align*} \vec{a}\in \mathbb{R}^n \end{align*}$ und $\begin{align*} c\in \mathbb{R} \end{align*}$ der Funktion $\begin{align*} f(\vec{t})= c\exp(\vec{a}\cdot \vec{t}) \end{align*}$ sollen bestimmt werden. Die Anzahl Parameter ist $\begin{align*} n=5 \end{align*}$ . Dazu wurde $\begin{align*} f \end{align*}$ in $\begin{align*} m=20 \end{align*}$ Punkten $\begin{align*} \vec{t}_i \in \mathbb{R}^n \end{align*}$ gemessen, die Messwerte werden mit $\begin{align*} f_i \end{align*}$ bezeichnet.

(i) Formulieren Sie das Problem als eine lineare Ausgleichsrechung $\begin{align*} \min_{c,\vec{a}}\|\pmb{A}\vec{x}-\vec{b}\|_2 \end{align*}$ und bestimmen Sie die Matrix $\begin{align*} \pmb{A} \end{align*}$ und die Vektoren $\begin{align*} \vec{x} \end{align*}$ und $\begin{align*} \vec{b} \end{align*}$ .

Nun sind in einem Template die nuermischen Werte von $\begin{align*} \vec{t}_i \end{align*}$ und $\begin{align*} f_i \end{align*}$ gegeben. Leider verstehe ich überhaupt nicht wie man nun daraus berechnen soll was die Einträge der Matrix und der beiden Vektoren sind. Das Problem mit der $\begin{align*} QR- \end{align*}$ oder $\begin{align*} SVD- \end{align*}$ Methode zu lösen ist soweit auch Teil der Aufgabe, aber das stellt weniger ein Problem dar (bzw. habe ich soweit gemacht). Aber ich komme einfach nicht auf die Matrix/Vektoren...

Ich hoffe jemand kann mir zeigen, wie das ungefähr funktioniert.

09.05.2017, 08:25

HAL 9000

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Hmm, es wird an keiner Stelle deutlich gesagt, nach welchem Kriterium die Parameter $\begin{align*} \vec{a} \end{align*}$ und $\begin{align*} c \end{align*}$ bestimmt werden sollen. verwirrt

Das naheliegende MKQ

$\begin{align*} \sum_{i=1}^m \left( f(\vec{t}_i)-f_i \right)^2 = \sum_{i=1}^m \left( c\exp\left(\vec{a}\cdot \vec{t}_i\right)-f_i \right)^2 \to \min!\quad\mbox{bzgl.}\quad \vec{a},c\qquad (1) \end{align*}$

führt nicht zu einer solchen linearen Ausgleichsrechnung. Anders sieht es aus, wenn man das zugehörige logarithmierte Problem betrachtet:

$\begin{align*} \sum_{i=1}^m \left( \ln(f(\vec{t}_i))-\ln(f_i) \right)^2 = \sum_{i=1}^m \left( \ln(c) + \vec{a}\cdot \vec{t}_i-\ln(f_i) \right)^2 \to \min!\quad\mbox{bzgl.}\quad \vec{a},c\qquad (2) \end{align*}$ .

Es sei nochmal deutlich betont, dass (1) und (2) unterschiedliche Kriterien sind und i.a. auch zu unterschiedlichen "optimalen" Lösungen $\begin{align*} \vec{a},c \end{align*}$ führen. Beide haben ihre Berechtigung, für (2) spricht die einfachere Berechenbarkeit (direkt, ohne Näherungsverfahren).

09.05.2017, 08:43

Sito

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Vielen Dank für die Antwort!

Laut dem Professor ist wohl Variante 2 gemeint, da er tatsächlich von linearisieren gesprochen hat. Ich habe jetzt aber doch noch ein paar Fragen:
1) Wo kommt diese Gleichung her $\begin{align*} \sum_{i=1}^m \left( \ln(c) + \vec{a}\cdot \vec{t}_i-\ln(f_i) \right)^2 \end{align*}$ ? Ist diese allgemeingültig, also die Form $\begin{align*} \sum_{i=1}^m \left( f(\vec{t}_i)-f_i\right)^2 \end{align*}$ ?

2) Was genau liefert mir diese Summe? Die Einträge der Matrix A?

09.05.2017, 09:11

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sito
Ist diese allgemeingültig, also die Form $\begin{align*} \sum_{i=1}^m \left( f(\vec{t}_i)-f_i\right)^2 \end{align*}$ ?

Man ist ja bestrebt, dass die Punkte $\begin{align*} (\vec{t}_i,f(\vec{t}_i)) \end{align*}$ auf der Ausgleichskurve möglichst nahe den direkten Messpunkten $\begin{align*} (\vec{t}_i,f_i) \end{align*}$ kommen. Zu diesem Zwecke betrachte man die Funktionswertdifferenz $\begin{align*} f(\vec{t}_i)-f_i \end{align*}$ , aber nicht direkt, sondern zum Quadrat und aufsummiert über alle Stichprobenwerte, und versucht diese Quadratsumme möglichst klein zu machen (im Idealfall, wo die Messpunkte exakt auf der Ausgleichskurve liegen, ist diese Quadratsumme ja gleich Null). Das bezeichnet man als Methode der Kleinsten Quadrate.

Zitat:

Original von Sito
2) Was genau liefert mir diese Summe? Die Einträge der Matrix A?

Wie kann eine Summe (reelle Zahl) eine Matrix liefern? Nein, überleg dir erstmal, was bei diesem Problem die gegebenen Werte sind (aus der Stichprobe gewonnen, direkt oder mittelbar) und was die gesuchten (d.h., die zu optimierenden Parameter). Ersteres wird in geeigneter Weise $\begin{align*} A \end{align*}$ und $\begin{align*} \vec{b} \end{align*}$ zuzuordnen sein, letzteres dem $\begin{align*} \vec{x} \end{align*}$ . Hier ist ausgehend von (2) nichts zu rechnen, sondern nur geeignet zuzuordnen. Ich kann da auch keine weiteren Tipps geben, jedes weitere Wort ist praktisch die Lösung.

09.05.2017, 22:32

Sito

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Zitat:

Ich kann da auch keine weiteren Tipps geben, jedes weitere Wort ist praktisch die Lösung.

Vielen Dank für die Hilfe, ich denke mal es hat soweit funktioniert. Wenn ich das richtig verstanden habe ist $\begin{align*} \pmb{A} \end{align*}$ eine $\begin{align*} n\times m \end{align*}$ -Matrix, wobei $\begin{align*} n \end{align*}$ gerade dem Grad des Polynoms entspricht, welches über die Punkte gelegt werden soll und $\begin{align*} m \end{align*}$ der Anzahl Messpunkte. $\begin{align*} \vec{b} \end{align*}$ entspricht dann den $\begin{align*} m \end{align*}$ -Messwerten (oder hier in dem Fall den linearisierten Funktionswerten) und $\begin{align*} \vec{x} \end{align*}$ sind die Koeffizienten der Basisfunktionen.

Stimmt das soweit? verwirrt

10.05.2017, 08:02

HAL 9000

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Ein Polynom vom Grad $\begin{align*} n \end{align*}$ wäre es, wenn du eine Variable $\begin{align*} t \end{align*}$ hättest und dann für $\begin{align*} f(t) \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} \ln(f(t)) \end{align*}$ die Darstellung $\begin{align*} a_0+a_1t+\ldots+a_nt^n \end{align*}$ .

Tatsächlich haben wir aber einen Variablenvektor $\begin{align*} \vec{t}=(t_1,\ldots,t_n) \end{align*}$ und einen entsprechenden Ansatz für $\begin{align*} f(\vec{t}) \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} \ln(f(\vec{t})) \end{align*}$ in der Form $\begin{align*} \vec{a}\cdot \vec{t} = a_1t_1 + \ldots + a_nt_n \end{align*}$ . "Polynom vom Grad n" ist daher unzutreffend.

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