Unterraum, Basis und Dimension

09.05.2017, 10:53	M29_H6	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum, Basis und Dimension Meine Frage: Hallo, ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht so richtig weiterkomme und ein bisschen Hilfe bräuchte. Die Teilmenge $\begin{eqnarray} U \subset \mathbb R ^4 \end{eqnarray}$ sei gegeben durch $\begin{eqnarray} U =(v\|v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4\end{pmatrix}, v_{1}-v_{2}+v_{3}= 0, v_{2}+2v_{3}-v_{4}= 0) \end{eqnarray}$ 1. Zeigen sie, dass $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R ^4 \end{eqnarray}$ ist. 2. Bestimmen sie eine Basis von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ , und berechnen Sie die Dimension von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ . 3. Ergänzen sie die von Ihnen gefundene Basis von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ zu einer Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^4<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Zu 1. Unterraumkriterium: $\begin{eqnarray} <br /> (a) \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} U \end{eqnarray}$ ist die Nullmatrix der Teilmenge $\begin{eqnarray} U. <br /> <br /> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\mathbb R ^4 \end{eqnarray}$ ist die Nullmatrix der Menge $\begin{eqnarray} \mathbb R ^4. \end{eqnarray}$ Es gilt $\begin{eqnarray} 0\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}U = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}U \end{eqnarray}$ Da aber $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}U \in \mathbb R ^4 \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} U\subseteq \mathbb R ^4 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} 0\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}U = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\mathbb R^4 \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} 0\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}U = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}U = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\mathbb R ^4 \end{eqnarray}$ . (b) $\begin{eqnarray} v_1 = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3\\ v_4 \end{pmatrix} v_2 = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3\\ w_4 \end{pmatrix}<br /> v_1 + v_2 = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3\\ v_4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3\\ w_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1+w_1 \\ v_2+w_2 \\ v_3+w_3\\ v_4+w_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (c) ? Gruß M29_H6
09.05.2017, 11:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist noch nicht zielführend. Hast du schon darüber nachgedacht, was die Gleichung $\begin{eqnarray} v_1-v_2+v_3=0 \end{eqnarray}$ geometrisch im $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ ist ? und die andere Gleichung ? und der Durchschnitt der beiden Gebilde ? Übrigens ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}\in\mathbb R^4 \end{eqnarray}$ der Nullvektor und nicht eine Nullmatrix, und ganz zu Anfang musst du nur nachrechnen, dass er Element von $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ ist, denn dann ist $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ nicht leer. Die Schreibweise bei b) ist sinnlos, denn $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ kann nicht gleichzeitig Vektor und Komponente von sich selbst sein.
10.05.2017, 10:56	M29_H6	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, $\begin{eqnarray} v_2 \end{eqnarray}$ müsste größer als $\begin{eqnarray} v_1 \end{eqnarray}$ sein, um in den negativen Bereich zu kommen, damit die Addition von $\begin{eqnarray} v_3 \end{eqnarray}$ zum Nullpunkt zurückführt. Und bei der zweiten Gleichung muss $\begin{eqnarray} v_4 \end{eqnarray}$ so groß sein, dass die Subtraktion wieder zum Nullpunkt führt... Der Durchschnitt der beiden Gebilde?? $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}U \end{eqnarray}$ ist der Nullvektor von U. $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\mathbb R^4 \end{eqnarray}$ ist der Nullvektor von $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ Wie kann ich denn nachweisen, dass er Element von U ist, wenn nicht so? In meinen Unterlagen ist nur beschrieben, dass man beweisen muss, dass der Nullvektor von U gleich der Nullvektor von $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ ist um sagen zu können, dass es eine nicht leere Menge ist ... (b) $\begin{eqnarray} a_1 = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3\\ v_4 \end{pmatrix} a_2 = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3\\ w_4 \end{pmatrix}<br /><br /> a_1 + a_2 = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3\\ v_4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3\\ w_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1+w_1 \\ v_2+w_2 \\ v_3+w_3\\ v_4+w_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Gruß M29_H6
10.05.2017, 11:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist leider kompletter Unfug. Jeder Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist eine abelsche additive Gruppe $\begin{eqnarray} (V,+) \end{eqnarray}$ und enthält deswegen (genau) ein Nullelement $\begin{eqnarray} 0\in V \end{eqnarray}$ für das gilt $\begin{eqnarray} \forall x\in V:0+v=v+0=v \end{eqnarray}$ . Was du mit $\begin{eqnarray} 0V \end{eqnarray}$ meinen könntest, erschließt sich mir nicht. Für den Nullvektor gilt $\begin{eqnarray} 0=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Damit musst du arbeiten und beweisen, dass er in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ liegt. Ein Vektor liegt genau dann in $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ , wenn die beiden linearen Gleichungen erfüllt sind. Du musst beweisen, dass diese beiden Gleichungen für den Nullvektor erfüllt sind. Du musst beweisen, dass diese beiden Gleichungen für die Summe zweier Vektoren erfüllt sind, wenn sie für die Summanden erfüllt sind. Du musst beweisen, dass diese beiden Gleichungen für das skalare Vielfache erfüllt sind, wenn sie für einen Vektor erfüllt sind. Wenn du auch nach reiflichem Nachdenken nicht darauf kommst, was eine lineare Gleichung wie $\begin{eqnarray} v_1-v_2+v_3=0 \end{eqnarray}$ für einen variablen Vektor $\begin{eqnarray} v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\v_4\end{pmatrix}\in\mathbb R^4 \end{eqnarray}$ geometrisch bedeutet, dann überlege doch bitte, was du in der Schule über eine Gleichung $\begin{eqnarray} x-y=0 \end{eqnarray}$ für einen Vektor $\begin{eqnarray} v=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ der Ebene gelernt hast.
08.06.2017, 18:38	M29_H6	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay vielen Dank für die Hilfe

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