Banachscher Fixpunktsatz Heron-Verfahren

09.05.2017, 11:17

dubbox

Banachscher Fixpunktsatz Heron-Verfahren

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} x_0,a > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n+1} = \frac 1 2=(x_n + \frac a {x_n}) \end{eqnarray*}$ .
Des weiteren sei eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \left[\frac {\sqrt 3} 2 \cdot \sqrt a, \frac 2 {\sqrt 3} \cdot \sqrt a\right] \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac 1 2(x+\frac a x) \end{eqnarray*}$ .

a) Zeigen Sie, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ den Fixpunkt $\begin{eqnarray*} \sqrt a \end{eqnarray*}$ bestitzt.

b) Zeigen Sie, dass für alle $\begin{eqnarray*} x \in \left[\frac {\sqrt 3} 2 \cdot \sqrt a, \frac 2 {\sqrt 3} \cdot \sqrt a\right] \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(x) \in \left[\frac {\sqrt 3} 2 \cdot \sqrt a, \frac 2 {\sqrt 3} \cdot \sqrt a\right] \end{eqnarray*}$ . Zeigen sie weiterhin, dass ein $\begin{eqnarray*} q \in (0,1) \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} |f(xc)-f(y)| \leq |x-y| \end{eqnarray*}$ , für alle $\begin{eqnarray*} x,y \in \left[\frac {\sqrt 3} 2 \cdot \sqrt a, \frac 2 {\sqrt 3} \cdot \sqrt a\right] \end{eqnarray*}$ .

c) Welche Aussagen können Sie nun nach dem Banachschen Fixpunktsatz über die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in N} \end{eqnarray*}$ treffen, wenn wir $\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$ wählen?

Meine Ideen:
Die Probleme habe ich hauptsächlich bei b), im allgemeinen zeige ich hier ja durch a) und b), dass die Vorraussetzungen für den B-Fixpunktsatz gelten und in c) zeige ich was eben dieser Aussagt.

a)
$\begin{eqnarray*} f(\sqrt a) = \frac 1 2(\sqrt a + \frac a {\sqrt a})\Rightarrow f(a) = \frac 1 4(\sqrt a + \frac a {\sqrt a})^2 = a \Rightarrow f(\sqrt a)=\sqrt a \end{eqnarray*}$ , wenn ich das so mittels Quadratischer Ergänzung machen darf.

b)
Hier stehe ich auf dem Schlauch, im Prinzip zeige ich ja hier, das $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist und ein Abstand definiert ist. Aber ich weiß nicht mal wieso das Intervall so gewählt wurde, und ob es nur dieses Intervall tut. Ein Ansatz für das ganze wäre super, da ich echt Probleme wegen dem Intervall habe.

c)
Da a) und b) gelten, kann ich nun sagen, dass die A-priori-Abschätzung und die A-posterori-Abschätzung gelten, sowie das die Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_0=2 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ konvergiert da $\begin{eqnarray*} f(\sqrt a)=\sqrt a \end{eqnarray*}$ laut a).

09.05.2017, 12:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von dubbox
Zeigen sie weiterhin, dass ein $\begin{eqnarray*} q \in (0,1) \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} |f(xc)-f(y)| \leq |x-y| \end{eqnarray*}$

Die zu zeigende Ungleichung ist aber ziemlich verunfallt. Meinst du da nicht eher $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq q|x-y| \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Zitat:

Original von dubbox
b) [...] Aber ich weiß nicht mal wieso das Intervall so gewählt wurde, und ob es nur dieses Intervall tut.

Es ist sicher ehrenvoll, dass du diese Fragen stellst, d.h., du willst das ganze besser verstehen. Aber pragmatisch gesehen in Hinsicht auf die Lösung dieser Teilaufgabe ist das nicht nötig:

Betrachte es als ein konkret vorgegebenes Intervall, für das du die angegebene Eigenschaft nachweisen sollst. Wieso es gerade dieses Intervall sein soll, ist da völlig irrelevant.

Und zum zweiten Teil deiner Frage: Es ist nicht das einzige Intervall dieser Art, man kann z.B. auch $\begin{align*} \left[\frac{1}{2}\sqrt{a}, 2\sqrt{a}\right] \end{align*}$ wählen.

P.S.: Der eigentliche Nachweis hier gelingt z.B. durch Betrachtung der diversen Monotonieintervalle von $\begin{align*} f \end{align*}$ .

10.05.2017, 09:16

dubbox

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Zitat:

Die zu zeigende Ungleichung ist aber ziemlich verunfallt. Meinst du da nicht eher $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq q|x-y| \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Völlig richtig Entschuldige :/

Zu aller erst, kann ich die a) denn so bearbeiten?

Zur Monotonie:

Erstmal zeige ich, dass die Folge durch $\begin{eqnarray*} \sqrt a \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, also für alle $\begin{eqnarray*} n \geq 0 : x_n \geq \sqrt a \Leftrightarrow x^{2}_n - a \geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} \frac 1 4 (x_{n-1}+\frac a {x_{n-1}})^2 -a = \frac 1 4 (x_{n-1}-\frac a {x_{n-1}})^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Dann zeige ich, dass die Folge monoton fallend ist via

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}-x_n=\frac {x_n} 2 + \frac a {2x_n} - x_n = \frac {-x_n} 2 + \frac a {2x_n} = \frac {a-x^2_n} {2x_n} \leq 0 \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} x^2_n \geq a \end{eqnarray*}$

Daraus müsste ja folgen, dass die Folge abgeschlossen ist, da $\begin{eqnarray*} \frac 2 {\sqrt 3} \cdot \sqrt a \geq x_n \geq \sqrt a \geq \frac {\sqrt 3} 2 \cdot \sqrt a \end{eqnarray*}$ oder ist das unsinn?

10.05.2017, 10:01

HAL 9000

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Zu a) Na klar, "Fixpunkt" heißt ja nur zu zeigen $\begin{align*} f(\sqrt{a})=\sqrt{a} \end{align*}$ , und das hast du gemacht.

Zitat:

Original von dubbox
Erstmal zeige ich, dass die Folge durch $\begin{eqnarray*} \sqrt a \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, also für alle $\begin{eqnarray*} n \geq {\color{red}0} : x_n \geq \sqrt a \Leftrightarrow x^{2}_n - a \geq 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Eine kleine Korrektur: Du zeigst, dass dies für $\begin{align*} n\geq {\color{red}1} \end{align*}$ gilt, und mehr ist auch nicht drin: Startwert $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ ist möglicherweise auch noch kleiner als $\begin{align*} \sqrt{a} \end{align*}$ . Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac 1 4 (x_{n-1}+\frac a {x_{n-1}})^2 -a = \frac 1 4 (x_{n-1}-\frac a {x_{n-1}})^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von dubbox
Dann zeige ich, dass die Folge monoton fallend ist via

$\begin{eqnarray*} x_{n+1}-x_n=\frac {x_n} 2 + \frac a {2x_n} - x_n = \frac {-x_n} 2 + \frac a {2x_n} = \frac {a-x^2_n} {2x_n} \leq 0 \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} x^2_n \geq a \end{eqnarray*}$

Der Monotoniebeweis ist in Ordnung.

Aber irgendwie hast du das eigentliche Thema von b) verfehlt, indem du dich sofort auf die Folge stürzt - der Fokus liegt auf einfachen Eigenschaften von $\begin{align*} f \end{align*}$ .

Ich schreib mal auf, was ich mir hier vorgestellt habe: Für $\begin{align*} f(x) = \frac{1}{2}\left(x+\frac{a}{x}\right) \end{align*}$ ist $\begin{align*} f'(x) = \frac{1}{2}\left(1-\frac{a}{x^2}\right) \end{align*}$ , d.h., $\begin{align*} f'(x)<0 \end{align*}$ für $\begin{align*} 0<x<\sqrt{a} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} f'(x)>0 \end{align*}$ für $\begin{align*} x>\sqrt{a} \end{align*}$ . In ersterem Intervall ist also $\begin{align*} f \end{align*}$ fallend, in letzterem wachsen, damit gilt für alle $\begin{align*} x \in \left[\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{a}, \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a}\right] \end{align*}$ die Ungleichung

$\begin{align*} f(\sqrt{a}) \leq f(x) \leq \max\left\{ f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{a}\right) , f\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a}\right) \right\} \end{align*}$

Und das einfach mal ausrechnen:

$\begin{align*} \sqrt{a} \leq f(x) \leq \max\left\{ \frac{7}{4\sqrt{3}}\sqrt{a} , \frac{7}{4\sqrt{3}}\sqrt{a}\right) \} = \frac{7}{4\sqrt{3}}\sqrt{a} \end{align*}$

Wegen $\begin{align*} \sqrt{a} > \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{a} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \frac{7}{4\sqrt{3}}\sqrt{a} < \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a} \end{align*}$ liegt natürlich dieses Intervall $\begin{align*} \left[\sqrt{a},\frac{7}{4\sqrt{3}}\sqrt{a}\right] \end{align*}$ vollständig in dem größeren Intervall $\begin{align*} \left[\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{a}, \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a}\right] \end{align*}$ , womit der geforderte Nachweis erbracht ist.

Genauso dann beim Nachweis von $\begin{align*} |f(x)-f(y)|\leq q|x-y| \end{align*}$ : Es geht um die Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ , und (noch) nicht um die Folge $\begin{align*} (x_n) \end{align*}$ !

10.05.2017, 10:13

dubbox

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Danke für die Antwort, das Problem ist, wir sind im Skript noch nicht bei Ableitungen. Ich denke wir sollen das wohl anders Lösen. Ableitungen werden erst mit dem Differential- und Integralrechnung eingeführt.

Mit der Ableitung hatte ich auch schon mehrere Ansätzte gefunden gehabt, jedoch denke ich, das das hier nicht klappen wird. Der Prof mag das wohl nicht Big Laugh

Kann ich das ganze auch über die Intervalle der Folge sagen, ohne eben die Ableitung zu betrachten? Meine Idee war die Monotonie der Folge zu zeigen und so die Abgeschlossenheit. Da Eben die Funktion im Intervall startet und wegen der monoton fallenden Folge auch dieses nie verlässt.

10.05.2017, 10:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von dubbox
Danke für die Antwort, das Problem ist, wir sind im Skript noch nicht bei Ableitungen. Ich denke wir sollen das wohl anders Lösen. Ableitungen werden erst mit dem Differential- und Integralrechnung eingeführt.

Ich hatte gedacht, sowas lernt man noch vor dem Abitur? Scheint ja in rasenden Schritten abwärts zu gehen mit dem Bildungsniveau. Big Laugh

Egal, man kann die intervallweise Monotonie von $\begin{align*} f \end{align*}$ natürlich auch anders nachweisen, mit ähnlichen Techniken wie bei dir oben. Der Hauptpunkt meiner Kritik war aber, dass du dich hier bei b) auf $\begin{align*} f \end{align*}$ statt auf die Folge $\begin{align*} (x_n) \end{align*}$ beziehen musst!

10.05.2017, 10:26

dubbox

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Haha klar kenne ich Ableitungen aus dem Abitur Big Laugh

Nur dürfen wir nichts benutzen, was im Skript nicht definiert ist. Soll eben Stufenweise ablaufen denke ich, Uni halt Big Laugh

Kann ich also das ganze benutzten und die Schlüsse dann eben für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ formulieren ?

10.05.2017, 10:33

HAL 9000

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Das habe ich doch eben gesagt, ja. Da du das später in b) sowieso auch noch brauchst, könnte man auch gleich jetzt schon mal die Differenz der Funktionswerte betrachten:

$\begin{align*} f(x)-f(y) = \frac{1}{2}\left( x-y + \frac{a}{x}-\frac{a}{y}\right) = \frac{x-y}{2}\left( 1 - \frac{a}{xy} \right)\qquad (*) \end{align*}$ .

Diese Darstellung (*) ist sowohl für den (analysisfreien!) Nachweis der intervallweisen Monotonie von $\begin{align*} f \end{align*}$ als auch für die später noch nachzuweisende Kontraktionseigenschaft $\begin{align*} |f(x)-f(y)| \leq q |x-y| \end{align*}$ hilfreich.

10.05.2017, 14:40

dubbox

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Danke für deine Ausdauer beim Helfen Big Laugh

Ich probiere das mal, (ich frag immer lieber mehrmals nach, als etwas nicht wirklich verstanden zu haben), das Intervall löst aber immernoch eine Denkblockade aus, entschuldige dafür.

Ich zeige dass $\begin{eqnarray*} f(x+1)-f(x) \leq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 < x < \sqrt a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x+1)-f(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \geq \sqrt a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x+1)-f(x) = \frac {(x +1) - x} 2 (1- \frac a {(x+1)x}) = \frac 1 2 (1- \frac a {x^2+x}) = \frac 1 2- \frac a {2(x^2+x)} \end{eqnarray*}$
Jetzt müsste ich ja zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} 0<x<\sqrt a \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac 1 2- \frac a {2(x^2+x)} \leq 0 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x \geq \sqrt a \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac 1 2- \frac a {2(x^2+x)} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} x \geq \sqrt a \Leftrightarrow x^2 \geq a \Rightarrow \lim_{x \to \infty}\frac 1 2- \frac a {2(x^2+x)} = \frac 1 2 - 0 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} 0<x<\sqrt a \Leftrightarrow x^2 < a \Rightarrow \lim_{x \to \infty}\frac 1 2- \frac a {2(x^2+x)} \leq 0 \end{eqnarray*}$ wobei es hier denke ich noch einen Schritt bräuchte.

Kann deine Formeln leider nicht zitieren, aber in dem nächsten Schritt rechnest du dann $\begin{eqnarray*} f(\frac {\sqrt 3} 2 \sqrt a) = f(\frac 2 {\sqrt 3} \sqrt a) = \frac 7 {4\sqrt 3}\sqrt a \end{eqnarray*}$

Da nun $\begin{eqnarray*} \sqrt a \leq f(x) \leq \frac 7 {4\sqrt 3}\sqrt a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left[ \sqrt a, \frac 7 {4\sqrt 3}\sqrt a \right] \in \left[ \frac {\sqrt 3} 2 \sqrt a, \frac 2 {\sqrt 3} \sqrt a \right] \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} x \in \left[ \frac {\sqrt 3} 2 \sqrt a, \frac 2 {\sqrt 3} \sqrt a \right]: f(x) \in \left[ \frac {\sqrt 3} 2 \sqrt a, \frac 2 {\sqrt 3} \sqrt a \right] \end{eqnarray*}$

Habe ich das einigermaßen fehlerfrei nachvollziehen können? Wenn ja wäre dann noch die Kontraktion dran. Ist das was ich zu c) aufgeschrieben habe, wenn b) gezeigt ist so korrekt?

11.05.2017, 11:50

dubbox

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Also ich habe irgendwie eine Blockade bei der Kontraktion, ich probiere erstmal zu verstehen was das aussagt
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq q|x-y| : q\in (0,1) \end{eqnarray*}$ sagt mir ja in Worten, Der Abstand zwischen den Bilder von $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ muss echt kleiner sein als der Abstand von $\begin{eqnarray*} |x-y| \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} |q|x-y|<|x-y| \end{eqnarray*}$ . Wieso schreibt man dann nicht einfach $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| < |x-y| \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ich die Gleichung benutzte von $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \end{eqnarray*}$ sieht das dann ja so aus.

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| = |\frac {x - y} 2 (1- \frac a {xy}) | = |\frac {x - y} 2 - \frac {a(x-y)} {2xy})| \leq q|x-y| : q\in (0,1) \end{eqnarray*}$ Jetzt stehe ich aber vor eine Umformung, bei der mir nichts einfällt. Man sieht ja schon eine gewisse Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x-y \end{eqnarray*}$ aber ich komm nicht drauf. Wahrscheinlich läuft das dann ja wieder über die Abschätzungen über $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ im Verhältnis zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aber komme nicht drauf.

11.05.2017, 13:14

HAL 9000

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Wieso $\begin{align*} x+1 \end{align*}$ vs. $\begin{align*} x \end{align*}$ ? Monoton fallend im Intervall $\begin{align*} \left[\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{a},\sqrt{a}\right] \end{align*}$ heißt, dass für alle $\begin{align*} x,y \end{align*}$ mit $\begin{align*} \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{a}\leq x\leq y\leq \sqrt{a} \end{align*}$ die Ungleichung $\begin{align*} f(x)\geq f(y) \end{align*}$ nachzuweisen ist.

Analog dann für "monoton wachsend" im Intervall $\begin{align*} \left[\sqrt{a},\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a}\right] \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x,y \end{align*}$ mit $\begin{align*} \sqrt{a}\leq x\leq y\leq \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a} \end{align*}$ die Ungleichung $\begin{align*} f(x)\leq f(y) \end{align*}$ . Mit fixem Abstand 1 zwischen den Argumenten $\begin{align*} x,y \end{align*}$ ist da kein Blumentopf zu gewinnen - anscheinend spuken immer noch die Folgen mit dort ja richtigem Indexabstand 1 durch deinen Kopf. unglücklich

Hinsichtlich des eigentlichen Beweises: Für positive $\begin{align*} x,y\leq \sqrt{a} \end{align*}$ ist $\begin{align*} 1-\frac{a}{xy}\leq 0 \end{align*}$ , für $\begin{align*} x,y\geq \sqrt{a} \end{align*}$ hingegen $\begin{align*} 1-\frac{a}{xy}\geq 0 \end{align*}$ . Dies zusammen mit (*) liefert sofort den Nachweis der Monotonieungleichungen.

Zitat:

Original von dubbox
Wieso schreibt man dann nicht einfach $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| < |x-y| \end{eqnarray*}$ ?

Weil das eine schwächere Forderung als $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| \leq q|x-y| \end{eqnarray*}$ mit festem (d.h. von $\begin{align*} x,y \end{align*}$ unabhängigen (!)) $\begin{align*} q<1 \end{align*}$ ist! Und diese schwächere Forderung ist i.a. auch nicht ausreichend für die Konvergenz der Folge $\begin{align*} x_{n+1}=f(x_n) \end{align*}$ , Beispiel:

$\begin{align*} f(x) = \ln(\exp(x)+1) \end{align*}$ mit Start $\begin{align*} x_1=0 \end{align*}$

Hier ist $\begin{align*} f'(x) = \frac{\exp(x)}{\exp(x)+1} \end{align*}$ , d.h. $\begin{align*} 0<f'(x)<1 \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} x \end{align*}$ , laut MWS bedeutet dies dann auch $\begin{align*} |f(x)-f(y)| = |f'(\xi)|\cdot |x-y| < |x-y| \end{align*}$ für alle reellen $\begin{align*} x\neq y \end{align*}$ .

Dennoch haben wir hier keine Konvergenz der Folge, denn wie man unschwer sieht haben wir die explizite Darstellung $\begin{align*} x_n=\ln(n) \end{align*}$ mit bestimmter Divergenz $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} x_n = \infty \end{align*}$ .

Zur Kontraktionsabschätzung hier: Bei Nutzung von (*) ist der Dreh- und Angelpunkt die Abschätzung von $\begin{align*} \frac{a}{xy} \end{align*}$ für unsere hier zu betrachtenden $\begin{align*} x,y \in \left[\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{a}, \frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a}\right] \end{align*}$ . Und da sollte unschwer zu erkennen sein

$\begin{align*} \frac{a}{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{a}\right)^2} \leq \frac{a}{xy} \leq \frac{a}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{a}\right)^2} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{3}{4} \leq \frac{a}{xy} \leq \frac{4}{3} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{1}{4} \geq 1-\frac{a}{xy} \geq -\frac{1}{3} \end{align*}$

und damit als Resümee $\begin{align*} \left| 1-\frac{a}{xy} \right| \leq \frac{1}{3} \end{align*}$ , was letztlich dazu führt, dass man in $\begin{align*} |f(x)-f(y)| = \frac{1}{2}\left| 1-\frac{a}{xy} \right|\cdot |x-y| \leq q |x-y| \end{align*}$ einfach durch Wahl von $\begin{align*} q=\frac{1}{6} \end{align*}$ auf der sicheren Seite ist.

11.05.2017, 14:50

dubbox

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Ach herrje, entschuldige die schwere Geburt Big Laugh

Mein Kopf ist noch total in Folgen/Reihen, wir haben letzte Woche Reihen gemacht und jetzt diese Woche mit den Funktionen angefangen und Intervallen. Da wirbelt immer zu beginn alles durcheinander. War auch keine schöne Aufgabe zum Einstieg fand ich Big Laugh

aber so sind halt profs

Ich denke dank deiner ausführlichen Hilfe habe ich das jetzt verstanden und kann es in eigenen worten wiedergeben Gott

wirklich vielen vielen Dank dafür. Dachte die Aufgabe bekomme ich niemals in den Kopf Big Laugh

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