Varianz des arithmetischen Mittels

09.05.2017, 14:51	mathle	Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz des arithmetischen Mittels Meine Frage: Hallo zusammen, könnte mir jemand bei folgender Aufgabe helfen? Es geht darum die Varianz des arithmetischen Mittels $\begin{eqnarray} X^n=\frac{1}{n} \sum\limits_{t=1}^{n} X_t \end{eqnarray}$ einer schwach stationären Zeitreihe zu berechnen. Ich weiß, dass das Ergebnis $\begin{eqnarray} \frac{\gamma(0)}{n}+\frac{2}{n} \sum\limits_{k=1}^{n-1} (1-\frac{k}{n})\gamma(k) \end{eqnarray}$ betragen soll, wobei $\begin{eqnarray} \gamma(k)=Cov(X_t,X_{t+k}) \end{eqnarray}$ unabhängig von t ist. Meine Ideen:* Ich komme auf $\begin{eqnarray} Var(X^n)=\frac{1}{n^2} Var(\sum\limits_{j=1}^{n} X_j)<br /> =\frac{1}{n^2} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} Cov(X_i,X_j) <br /> =\frac{1}{n^2}(n\gamma(0)+\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j \neq i} Cov(X_i,X_j)<br /> =\frac{1}{n} \gamma(0)+\frac{1}{n^2} n\sum\limits_{j=1}^{n-1} \gamma(j) \end{eqnarray}$ da die Kovarianz unabhängig von i ist. Wo liegt mein Fehler? Danke!
09.05.2017, 15:05	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die "Hauptdiagonale" $\begin{align} i=j \end{align}$ hast du richtig, da liegen $\begin{align} n \end{align}$ Werte drauf. Bei den "Nebendiagonalen" im festen Abstand $\begin{align} k \end{align}$ , d.h. $\begin{align} i=j+k \end{align}$ oder $\begin{align} j=i+k \end{align}$ , scheinst du dich zu verzählen: Dazu gehören genau $\begin{align} 2(n-k) \end{align}$ Paare $\begin{align} (i,j) \end{align}$ - einfach mal "aufmalen". Demzufolge ist $\begin{align} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Cov}(X_i,X_i) + \sum_{k=1}^{n-1} \sum_{\substack{i,j=1\\\|i-j\|=k}}^n \operatorname{Cov}(X_i,X_j) = n\gamma(0) + \sum_{k=1}^{n-1} 2(n-k)\gamma(k) \end{align}$ , woraus die Behauptung leicht folgt. P.S.: Im Detail sind das für folgende $\begin{align} (i,j) \end{align}$ -Paare: $\begin{align} (1,k+1), (2,k+2), \ldots, (n-k,n) \end{align}$ , das sind genau $\begin{align} (n-k) \end{align}$ Paare, und dann noch mit vertauschten Rollen $\begin{align} (k+1,1), (k+2,2), \ldots, (n,n-k) \end{align}$ , wiederum $\begin{align} (n-k) \end{align}$ Paare.
09.05.2017, 15:25	mathle	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Hammer, danke - ich werde es gleich mal versuchen

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