Lagrange Optimierung 3 Variablen 1 Nebenbedingung

09.05.2017, 18:42	RB111	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange Optimierung 3 Variablen 1 Nebenbedingung Meine Frage: Hallo, ich habe eine Funktion mit 3 Variablen jedoch nur einer Nebenbedingung, wobei ich die Extrempunkte nun mit dem Lagrangeansatz errechnen soll. Die Ausgangsformel ist: $\begin{eqnarray} p(r,s,t,\lambda ) = \frac{1}{2} (80-r)+ \frac{1}{2} (120-s)+\frac{1}{2} (100-t)+\lambda (2r+1s+3t-80) \end{eqnarray}$ Wobei das letzte Glied (+lambda(2r...)) die Nebenbedingung ist. [attach]44424[/attach] Meine Ideen: Bisher habe ich $\begin{eqnarray} p'r = 40-2r+2\lambda = 0<br /> p's = 60-s+\lambda = 0<br /> p't = 50-t+3\lambda =0<br /> p'\lambda = 2r+s+3t-80 = 0 \end{eqnarray}$ Anfangs dachte ich, dass ich evtl. mit zwei Nebenbedingungen arbeiten muss, da im Lösungsbogen jedoch nur mit einer gerechnet wurde, komme ich nicht auf den Trick.
09.05.2017, 20:35	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Den schwersten Teil hast Du doch schon geschafft. Woran scheiterst Du genau? Du könntest beispielsweise die ersten drei Bedingungen nach r,s und t umformen und in die vierte einsetzen. Oder du eliminierst durch geschicktes Addieren der vier Bedingungen.
10.05.2017, 18:19	RB111	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die ersten drei Bedingungen wie folgt nach s,r und t umgeformt. $\begin{eqnarray} r = 20 + \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s = 60 + \lambda \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t = 50 + 3\lambda \end{eqnarray}$ Und in die 4. Bedingung eingesetzt: $\begin{eqnarray} 40 + 2\lambda + 60 + \lambda + 150 + 3\lambda = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{-85}{6} \end{eqnarray}$ = -14,16 Ich erhalte folgende Werte: r = 5,83 s = 45,83 t = 7,5 $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{-85}{6} \end{eqnarray}$ = -14,16 Laut Lösungsbogen sollten jedoch folgende Werte herauskommen: r = 10 s = 45 t = 5 $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ = 15
10.05.2017, 23:36	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lagrange Optimierung 3 Variablen 1 Nebenbedingung Im ersten Posting nutzt Du ein falsches p. Laut Aufgabentellung ist $\begin{eqnarray} p(r,s,t,\lambda) = \frac{1}{2} \color{red}r\color{black}(80-r)+ \frac{1}{2} \color{red}s\color{black}(120-s)+\frac{1}{2}\color{red} t\color{black}(100-t)+\lambda (2r+1s+3t-80) \end{eqnarray}$ Merkwürdiger Weise ist aber nur die partielle Ableitung nach r falsch: $\begin{eqnarray} p'_r = 40-r+2\lambda = 0<br /> p'_s = 60-s+\lambda = 0<br /> p'_t = 50-t+3\lambda =0<br /> p'_\lambda = 2r+s+3t-80 = 0 \end{eqnarray}$
11.05.2017, 15:57	RB111	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt komme ich auf die richtigen Werte. Vielen Dank! Ich habe jetzt nur noch zwei kleine Fragen: 1) Ist Lamdba immer als Betrag zu betrachten? (vgl. Lösung: lambda = 15; meine Lösung ist lambda = -15) 2) Könntest du kurz skizzieren, wie ich bei dem geschickten Addieren zu verfahren habe?
12.05.2017, 23:41	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas spät, aber ich hatte die letzten Tage recht viel um die Ohren. zu 1) Das Vorzeichen ist einfach nur von der Definition der Lagrange-Funktion abhängig. Man kann das Vielfache der Nebenbedingung addieren oder subtrahieren. Das Optimum ist dasselbe. zu 2) Addiere zur vierten Gleichung ( $\begin{align} p'_\lambda=... \end{align}$ ) das doppelte der ersten, die zweite und schließlich das dreifache der dritten Gleichung. Schon hast Du nur noch den Lagrangefaktor in der Gleichung.
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