Konvergenz im R3

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10.05.2017, 10:06	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz im R3 Meine Frage: Da wir jetzt bei Konvergenz im R3 sind, werfe ich mit Fragen nur so um mich a) Wir haben die Folge $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in N} \in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} a_n = \begin{pmatrix} \sum\limits_{k=0}^{n} \frac {5\cdot 3^k} {4^{k+2}} \\ \sqrt {n+1} - \sqrt n \\ 42 + \frac 1 n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b) Sei $\begin{eqnarray} (v,\|\|.\|\|_V) \end{eqnarray}$ ein vollständig normierter Raum. Zeigen Sie, dass eine Folge $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in N} \end{eqnarray}$ genau dann konvergiert wenn Sie eine Cauchy-Folge ist. Meine Ideen: a) Jetzt schaue ich mir erstmal die einzelnen Zeilen und deren Grenzwerte an. $\begin{eqnarray} x_n = \sum\limits_{k=0}^{n} \frac {5\cdot 3^k} {4^{k+2}} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} x_n = \frac 5 4 \end{eqnarray}$ den Reihenwert haben wir in der letzten Übung gezeigt. $\begin{eqnarray} y_n = \sqrt {n+1} - \sqrt n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} y_n = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_n = 42 + \frac 1 n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} z_n = 42 \end{eqnarray}$ Folgt dann hier direkt, da die Koordinatenfolgen Konvergent sind, auch die Konvergenz der ganzen Folge? So steht es zumindest in einem Satz im Skript, falls auf den Raum die $\begin{eqnarray} \|\|.\|\|_2 \end{eqnarray}$ definiert ist und das ist sie ja im R3. Dann wäre $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_n = \begin{pmatrix} \lim_{n \to \infty} x_n \\ \lim_{n \to \infty} y_n \\ \lim_{n \to \infty} z_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac 5 4 \\ 0 \\ 42 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ b) Das verstehe ich einfach nicht so ganz, ist nicht eben genau die Definition des vollständig normierten Raumes, das jede Chauchy-Folge konvergiert ?
10.05.2017, 11:33	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja, Konvergenz im $\begin{eqnarray} R^n \end{eqnarray}$ ist äquivalent zu komponentenweisen Konvergenz. Bei $\begin{eqnarray} (x_n) \end{eqnarray}$ hast Du eine Bemerkung zum Beweis gemacht, bei $\begin{eqnarray} (y_n) \end{eqnarray}$ nicht; ist Dir klar, warum diese Folge konvergiert. Zu b): Vielleicht sollst Du noch zeigen, dass jede konvergente Folge auch Cauchy-Folge ist. Gruß pwm
10.05.2017, 12:57	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y_n = \sqrt {n+1} - \sqrt n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} y_n =\lim_{n \to \infty} \sqrt {n+1} - \sqrt n =\lim_{n \to \infty} \sqrt {n} - \sqrt n = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_n = 42 + \frac 1 n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} z_n = \lim_{n \to \infty}42 + \frac 1 n =\lim_{n \to \infty} 42 + 0= 42 \end{eqnarray}$ denke so sollte das reichen oder? Zur b) Also ich bin mir immernoch nicht ganz sicher was das bedeutet. Ich habe einen vollständig normierten Raum, in dem jede Chauchy-Folge konvergiert. Jetzt soll ich zeigen, dass auch jede konvergente Folge dann eine Cauchy-Folge ist? Ich versteh nicht ganz welches Axiom des normierten Raumes ich dann benutzten soll. Wenn ich raten müsste, würde ich sagen das man das zeigt über die kompaktheit oder darüber das jede beschränkte Folge in dem normierten Vektorraum mindestenz einen Häufungspunkt besitzt? Aber das ist echt eher geraten als gewusst.
10.05.2017, 13:07	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das hatte ich befürchtet: Die Herleitung der Konvergenz von $\begin{eqnarray} (y_n) \end{eqnarray}$ ist falsch. Du benutzt so etwas wie $\begin{eqnarray} \infty- \infty =0 \end{eqnarray}$ , was im allgemeinen nicht gilt. Du musst vielmeht $\begin{eqnarray} y_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \sqrt{n+1}+\sqrt{n} \end{eqnarray}$ erweitern. Zu b): Es gilt allgemein, dass jede konvergente Folge auch Cauchy-Folge ist. Das folgt unmittelbar aus den Definitionen und der Dreiecksungleichung. Gruß pwm
10.05.2017, 13:47	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay geht das dann eher so? $\begin{eqnarray} y_n = \sqrt {n+1} - \sqrt n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} y_n =\lim_{n \to \infty} \sqrt {n+1} - \sqrt n =\lim_{n \to \infty} \frac {(\sqrt {n+1} - \sqrt n)(\sqrt {n+1} + \sqrt n)} {\sqrt {n+1} + \sqrt n} = \lim_{n \to \infty} \frac {(n+1) -n} {\sqrt {n+1} - \sqrt n} =\lim_{n \to \infty} \frac {1} {\sqrt {n+1} - \sqrt n} = 0 \end{eqnarray}$ zu b) Wo wende ich dort die Dreiecksungleichung an? Mir ist klar, das das ja aus den Definitionen folgt ,bin nur verwirrt wie bzw was genau ich da jetzt zeigen muss Vielen Dank für die Hilfe, entschuldige die Umstände
10.05.2017, 15:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du im Nenner der Terme in den letzten beiden Schritten das - durch ein + ersetzt, wird ein Schuh draus.
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10.05.2017, 15:17	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
upps, wenn man das falsche mittels copy paste überträgt Aber sehr gut, diesen Trick mit dem erweitern macht man ja echt oft... Jetzt noch die b)
11.05.2017, 11:32	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich habe die b) Also Sei $\begin{eqnarray} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ eine konvergente Folge in einem vollständig normierten Raum. So existiert für jedes $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ eine Zahl $\begin{eqnarray} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray}$ so dass gilt $\begin{eqnarray} \|\|x_n-x\|\| < \epsilon \end{eqnarray}$ . Das impliziert, dass auch $\begin{eqnarray} \|\|x_n-x_m\|\| \leq \|\|x_n-x\|\|+\|\|x-x_m\|\| < \epsilon : \forall n,m\in \mathbb N \end{eqnarray}$ existieren muss. Und so kann man jede Folge die konvergiert als Cauchy-Folge auffassen. Hoffe das stimmt so
11.05.2017, 13:07	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, man kann sagen, Du hast die richtige Idee. Man kann aber auch sagen, was Du geschrieben hast, ist völlig unzureichend. Zunächst hast Du die Definition der Konvergenz falsch widergegeben: Du führst ein $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ ein, verwendest es aber nicht. Richtig ist: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0: \exists n_0 \in N: \forall n \geq n_0: \\|x_n-x\\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Ebenso hängt die nächste Formel von $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ ab: $\begin{eqnarray} \forall n,m \geq n_0: \\|x_n-x_m\\| \leq ... < 2 \epsilon \end{eqnarray}$ Gruß pwm
11.05.2017, 14:44	dubbox	Auf diesen Beitrag antworten »
Also V2 Sei $\begin{eqnarray} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ eine konvergente Folge in einem vollständig normierten Raum. So existiert für jedes $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ eine Zahl $\begin{eqnarray} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray}$ so dass gilt $\begin{eqnarray} \|\|x_n-x\|\| < \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ . Das impliziert, dass auch $\begin{eqnarray} \forall n,m\in \mathbb N:\|\|x_n-x_m\|\| \leq \|\|x_n-x\|\|+\|\|x-x_m\|\| < 2\epsilon \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n,m \geq n_0 \end{eqnarray}$ existieren muss. Und so kann man jede Folge die konvergiert als Cauchy-Folge auffassen. Vielen dank für deine/eure Hilfe, sehr hilfreich Jetzt denke ich habe ich verstandedn, wieso ich das auch so andersrum noch mal zeigen musste.

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