Niveaulinien - Extrema

10.05.2017, 11:15

leyla.1

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Niveaulinien - Extrema

Mit dem Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} =(2,2) \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ definieren wir die Abbildung

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, \vec{x} \mapsto |\vec{a} - \vec{x}| \end{eqnarray*}$

1. Beschreiben Sie welche anschauliche Bedeutung der Funktionswert von f in einem Punkt $\begin{eqnarray*} \vec{x} \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ hat?

2. Bestimmen und skizzieren Sie die Niveaulinen von f zu den werten -1,0,1,2

3.Sei $\begin{eqnarray*} A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 \geq 4, x> 0\} \end{eqnarray*}$ . Nimmt die Funktion f auf A ihr Minimum bzw. Maximum an?
(Das heißt, wir betrachten jetzt eigentlich die Funktion $\begin{eqnarray*} f:A \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
Wenn ja, geben Sie alle Punkte an, in welchen die Extremwerte angenommen werden.

Bevor ich meine Ideen auftrage, habe ich paar Fragen zur Funktion:
Beschreibt das $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ den Mittelpunkt des Kreises? Und $\begin{eqnarray*} \vec{a} - \vec{x} \end{eqnarray*}$ der Verbindungsvektor von x nach a, wobei dann a die Oberfläche des Kreises ist?

Ideen:

zu 1.
Der Funktionswert von f beschreibt die Länge vom Radius des Kreises?

zu 2.
Hier habe ich ein absolutes Verständnisproblem. Wir haben gelernt, dass folgendes gelten muss:

$\begin{eqnarray*} -1= |\vec{a} - \vec{x}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0= |\vec{a} - \vec{x}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1= |\vec{a} - \vec{x}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2= |\vec{a} - \vec{x}| \end{eqnarray*}$

Die Funktion, mit der wir das geübt hatten, da war noch ein y dabei und wir hatten die Funktion nach y umgestellt, aber hier hat man dies ja nicht gegeben.
Ich habe mit trotzdem versucht Gedanken darüber zu machen.

$\begin{eqnarray*} -1= |\vec{a} - \vec{x}| \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung wird für kein $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ erfüllt.

$\begin{eqnarray*} 0= |\vec{a} - \vec{x}| \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung wird nur für $\begin{eqnarray*} \vec{x}=(2,2) \end{eqnarray*}$ erfüllt.

$\begin{eqnarray*} 1= |\vec{a} - \vec{x}| \end{eqnarray*}$

Für diese Gleichung habe ich auch einige Werte für x gefunden, wo die Gleichung erfüllt wird, trotzdem keine allgemeine Funktion oder sowas.

Für letzteres leider auch.

Und zu 3. habe ich mir noch keine Gedanken gemacht.

11.05.2017, 10:38

Huggy

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RE: Niveaulinien - Extrema

Zitat:

Original von leyla.1
Beschreibt das $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ den Mittelpunkt des Kreises? Und $\begin{eqnarray*} \vec{a} - \vec{x} \end{eqnarray*}$ der Verbindungsvektor von x nach a, wobei dann a die Oberfläche des Kreises ist?

Nein! Beachte, dass $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ ein fester Vektor bzw. Punkt ist und $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ die Variable. Es sei $\begin{eqnarray*} f(\vec x)= r \end{eqnarray*}$ . Alle $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ , die das erfüllen, liegen auf einem Kreis um $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ mit dem Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ ist also der Mittelpunkt des Kreises.

Und ein Kreis hat einen Rand oder Umfang, aber keine Oberfläche.

Zitat:

Der Funktionswert von f beschreibt die Länge vom Radius des Kreises?

Sprachlich holprig, aber inhaltlich richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} -1= |\vec{a} - \vec{x}| \end{eqnarray*}$
Diese Gleichung wird für kein $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0= |\vec{a} - \vec{x}| \end{eqnarray*}$
Diese Gleichung wird nur für $\begin{eqnarray*} \vec{x}=(2,2) \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Richtig.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 1= |\vec{a} - \vec{x}| \end{eqnarray*}$
Für diese Gleichung habe ich auch einige Werte für x gefunden, wo die Gleichung erfüllt wird, trotzdem keine allgemeine Funktion oder sowas.

Ich zitiere mich selbst: Es sei $\begin{eqnarray*} f(\vec x)= r \end{eqnarray*}$ . Alle $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ , die das erfüllen, liegen auf einem Kreis um $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ mit dem Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Und zu 3. habe ich mir noch keine Gedanken gemacht.

Dann mach das jetzt mal.

11.05.2017, 13:01

leyla.1

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Zu der Menge von 3) hatte ich ein Schreibfehler:

3.Sei $\begin{eqnarray*} A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 \leq 4, x> 0\} \end{eqnarray*}$ . Nimmt die Funktion f auf A ihr Minimum bzw. Maximum an?
(Das heißt, wir betrachten jetzt eigentlich die Funktion $\begin{eqnarray*} f:A \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
Wenn ja, geben Sie alle Punkte an, in welchen die Extremwerte angenommen werden.

Also mit Maximum ist ja jetzt der größte Radius gemeint und mit Minimum analog der kleinste oder?
Und der kleinste Radius war ja bei der vorher betrachteten Funktion bei einem Radius von null, also wenn man für x (2,2) einsetzt.
Und dies kann man ja in dem Fall bei der Menge nicht, weil dann $\begin{eqnarray*} 4+4 \leq 4 \end{eqnarray*}$ rauskommt.

Analog dazu das Maximum: Das Maximum wird nicht angenommen, weil das Maximum $\begin{eqnarray*} f:A \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bei dieser Funktion für (4,0) liegt, doch bei der eigentlichen Funktion, steigt der Radius, wenn man immer größere Werte für x einsetzt.

Hoffe, dass ich kein Mist gebaut habe.

11.05.2017, 13:17

Huggy

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Zitat:

Original von leyla.1
Also mit Maximum ist ja jetzt der größte Radius gemeint und mit Minimum analog der kleinste oder?

Ja, innerhalb der Menge A.

Zitat:

Und der kleinste Radius war ja bei der vorher betrachteten Funktion bei einem Radius von null, also wenn man für x (2,2) einsetzt.

Wieso für $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ ?
Es ist doch $\begin{eqnarray*} \vec a =(2,2) \end{eqnarray*}$ !

Zitat:

Analog dazu das Maximum: Das Maximum wird nicht angenommen, weil das Maximum $\begin{eqnarray*} f:A \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ bei dieser Funktion für (4,0) liegt, doch bei der eigentlichen Funktion, steigt der Radius, wenn man immer größere Werte für x einsetzt.

Mir scheint, du verstehst den Aufgabentext nicht. Gefragt ist, wenn man als Definitionsbereich der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ nimmt, sondern lediglich die Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , nimmt dann $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ innerhalb $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein Maximum und/oder ein Minimum an?

11.05.2017, 13:35

leyla.1

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Sorry, dass ich nochmal nachfrage.
Also die Funktion sieht so aus oder?

$\begin{eqnarray*} f:\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 \leq 4, x> 0\} \to \mathbb{R}\ \ \ (x,y) \mapsto |(2,2) - (x,y)| \end{eqnarray*}$

Wenn das der Fall ist, erreicht ja die Funktion ihr Minimum, wenn die x-und y Komponente gegen zwei gehen. Je näher die Werte an zwei sind, desto kleiner wird der Radius. verwirrt

verwirrt

verwirrt

Oder?

11.05.2017, 13:45

Huggy

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Zitat:

Original von leyla.1
Also die Funktion sieht so aus oder?

$\begin{eqnarray*} f:\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 \leq 4, x> 0\} \to \mathbb{R}\ \ \ (x,y) \mapsto |(2,2) - (x,y)| \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Wenn das der Fall ist, erreicht ja die Funktion ihr Minimum, wenn die x-und y Komponente gegen zwei gehen.

Schon, falls man den Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht betrachtet. Aber liegt denn der Punkt $\begin{eqnarray*} \vec x =(2,2) \end{eqnarray*}$ innerhalb $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ???
Ist nicht $\begin{eqnarray*} 2^2+2^2=8>4 \end{eqnarray*}$ ?
Es ist ist mir echt peinlich, das hinschreiben zu müssen.

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11.05.2017, 13:59

leyla.1

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Zitat:

Schon, falls man den Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht betrachtet. Aber liegt denn der Punkt $\begin{eqnarray*} \vec x =(2,2) \end{eqnarray*}$ innerhalb $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ???
Ist nicht $\begin{eqnarray*} 2^2+2^2=8>4 \end{eqnarray*}$ ?
Es ist ist mir echt peinlich, das hinschreiben zu müssen.

Das war mir schon klar. Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Nur habe ich da ja nicht an 2 und 2 gedacht, sondern eher an den bereich $\begin{eqnarray*} 1 \leq x < 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1 \leq y < 2 \end{eqnarray*}$

Deshalb fällt es mir so schwer unglücklich

unglücklich

11.05.2017, 14:37

Huggy

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Anscheinend ist es heute nicht mehr üblich, sich Skizzen zu machen. Vielleicht hilft dir ein Bild ohne Worte auf die Sprünge:

[attach]44430[/attach]

11.05.2017, 15:39

leyla.1

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[attach]44431[/attach]

Also ist das dann so richtig? verwirrt

verwirrt

verwirrt

11.05.2017, 15:50

Huggy

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Ja!
$\begin{eqnarray*} f(\vec x)=r \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ =Radius das blauen Kreises ist das Minimum und mit $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ = Radius des grünen Kreises erhält man das Maximum. Kreise mit kleinerem oder größerem Radius haben keinen Punkt mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gemeinsam.

Nur so aus Neugierde. Ich bin ein älteres Semester, ein Grufti! Worin besteht die Schwierigkeit, sich die Fragestellung mit einer Skizze zu veranschaulichen? Das Auge denkt oft besser und schneller als das Gehirn.

11.05.2017, 16:10

leyla.1

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Aber wie soll ich die Punkte eigentlich jetzt angeben? Weil ich muss alle Punkte angeben, wo Extremwerte angenommen werden. Big Laugh

Big Laugh

Also ich fand Analysis I einfach. Aber Analysis II macht mir das Leben so schwer, da braucht man sehr viel Vorstellung.
Manchmal ist es echt schwer einen Text in eine Skizze umzuwandeln.

11.05.2017, 16:27

Huggy

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Zitat:

Original von leyla.1
Aber wie soll ich die Punkte eigentlich jetzt angeben? Weil ich muss alle Punkte angeben, wo Extremwerte angenommen werden. Big Laugh

Big Laugh

Es gibt doch nur jeweils ein $\begin{eqnarray*} \vec x \in A \end{eqnarray*}$ , in dem das Minimum bzw. das Maximum von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ angenommen wird. Der blaue und der grüne Kreis haben jeweils nur einen Punkt mit der orangen Fläche $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gemeinsam.

Zitat:

Manchmal ist es echt schwer einen Text in eine Skizze umzuwandeln.

Vielleicht, wenn man das nicht gewohnt ist. Jedenfalls ist es meiner Meinung nach sehr hilfreich.

11.05.2017, 17:14

leyla.1

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Ja. Das wäre ja einmal (0,0) und (1,5 , 1,5) oder? verwirrt

verwirrt

Aber es gilt ja x > 0. Weiß nicht wie ich das angeben soll.

11.05.2017, 19:07

Huggy

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Zitat:

Original von leyla.1
Ja. Das wäre ja einmal (0,0) und (1,5 , 1,5) oder? verwirrt

verwirrt

Ist 1 $\begin{eqnarray*} .5^2 + 1.5^2\leq 4 \end{eqnarray*}$ ?
Das ist wohl mehr geraten als gerechnet.

Zitat:

Aber es gilt ja x > 0. Weiß nicht wie ich das angeben soll.

Auf das $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ hatte ich bisher nicht so geachtet. Es bedeutet, dass der Punkt (0,0) nicht mehr in A liegt. Und da es für y keine zusätzliche Bedingung gibt, ist A auch nicht der von mir gezeichnete Viertelkreis, sondern ein Halbkreis rechts der y-Achse, aber ohne die y-Achse selbst, denn auf ihr ist ja $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ . Dann musst du noch mal über das Maximum von f innerhalb A nachdenken.

11.05.2017, 19:43

leyla.1

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Muss ich da was ausrechnen? Tränen

Tränen

Hinweis: Sie dürfen dabei mit der Antwort aus dem Aufgabenteil (i) argumentieren.

Das stand noch am Ende bei der Aufgabe.

12.05.2017, 08:32

Huggy

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Für das Minimum ist eine winzige Rechnung erforderlich.
Beim Maximum ist wegen des $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ zu überlegen, ob die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein Maximum hat.
Die Antwort zu (i) ist bei der Beantwortung beiden Fragen hilfreich.

12.05.2017, 11:36

leyla.1

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Naja was man ja sucht ist der Schnittpunkt der Niveaulinie mit der Menge oder nicht?

Kannst du mir einen Denkansatz hinsichtlich der Rechnung geben? smile

smile

12.05.2017, 12:00

Huggy

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Nach (i) sind die Niveaulinien Kreise um den Punkt $\begin{eqnarray*} (2,2) \end{eqnarray*}$ . Deren Radius ist gerade der Werf der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf dieser Niveaulinie. Gesucht ist für das Minimim von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ also der kleinste Kreis um $\begin{eqnarray*} (2,2) \end{eqnarray*}$ , der noch mindestens einen Punkt mit dem Gebiet $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gemeinsam hat. Das ist in der Zeichnung, die für das Minimum noch stimmt, der blaue Kreis, der $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in einem Punkt berührt. Da der Punkt $\begin{eqnarray*} (2,2) \end{eqnarray*}$ auf der Diagonalen $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ liegt, liegt auch der Berührpunkt auf dieser Diagonalen. Du brauchst also nur für den Randkreis von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ zu setzen und dann nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aufzulösen, um die Koordinaten des Berührpunkts zu bekommen.

12.05.2017, 12:05

leyla.1

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Dann müsste das Minimum lauten: verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{2},\sqrt{2}) \end{eqnarray*}$

Und zum Maximum - Das Maximum liegt im Punkt (0,0), da x > 0 ist, wird das Maximum nicht erreicht. Or?

12.05.2017, 12:15

Huggy

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Die Position des Minimums ist jetzt richtig.

Beim Maximum sollte die Aussage besser lauten: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat innerhalb von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ kein Maximum. Es gäbe ein Maximum, wenn $\begin{eqnarray*} x= 0 \end{eqnarray*}$ erlaubt wäre. Das liegt aber nicht bei $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ , sondern bei $\begin{eqnarray*} (0,-2) \end{eqnarray*}$ . Bei meiner Zeichnung hatte ich ja nicht beachtet, dass $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ gar nicht gefordert ist. Siehe meine frühere Bemerkung dazu.

12.05.2017, 12:21

leyla.1

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Vielen Dank erstmal für alles!!!!!! smile

smile

smile

smile

Darf ich dir noch eine kurze Frage zu Folgen und Funktion schicken, wenn du nicht so die Nase voll von mir hast? Big Laugh

Big Laugh

12.05.2017, 12:26

Huggy

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Du darfst zu allem Fragen stellen. Dafür ist das Forum ja da. Für ein neues Thema solltest du aber einen neuen Thread aufmachen. Ob ich dann antworte oder jemand anders, musst du einfach abwarten. Ich bin oft nur sporadisch im Forum unterwegs. Wenn ich aber mal geantwortet habe, versuche ich auch, die Thematik zum Abschluss zu bringen.

12.05.2017, 12:28

leyla.1

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Ok. Vielen Dank für alles.

Für die Zeit, die du für mich geopfert hast.

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