Grenzwert berechnen für n gegen unendlich

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10.05.2017, 14:58	Joly	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert berechnen für n gegen unendlich Meine Frage: Hallo, ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter, und zwar den Grenzwert des folgenden Terms berechnen: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to\infty }\ (n\sqrt[n]{2} -n) \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Laut online-Rechner müsste als Grenzwert log(2) rauskommen. Wir verstehen leider nicht, wie man darauf kommt. L'Hospital bringt hier ja leider anscheinend nicht viel. Selbst wenn man den Term auf die Form eines Bruches bringt, macht es das nicht besser. Vielen Dank schonmal für jede Hilfe!
10.05.2017, 15:04	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibe $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{2} \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} 2^\frac 1n \end{eqnarray}$ und substituiere $\begin{eqnarray} n=\frac 1x \end{eqnarray}$ . Wenn du dann genau hinschaust, erkennst du einen Differentialquotienten.
10.05.2017, 15:20	Joly	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe nun substituiert und komme auf folgenden Term: $\begin{eqnarray} \frac{2^x-1}{x} \end{eqnarray}$ Inwieweit ist das denn ein Differentialquotient? Und ich kenne Differentialquotienten nur von der Berechnung von Steigungen, was würde mir das hier denn bringen? Viele Grüße
10.05.2017, 15:21	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegen was muss denn $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ laufen? Und wie sieht allgemein ein Differentialquotient aus? Vielleicht erkennst da du Gemeinsamkeiten.
10.05.2017, 15:35	Joly	Auf diesen Beitrag antworten »
Also n=1/x soll ja gegen unendlich laufen, dementsprechend x gegen 0. Ein Differentialquotient hat doch die Form $\begin{eqnarray} \frac{y_{0}- y_{1}}{x_{0}- x_{1}} \end{eqnarray}$ Tut mir leid, ich sehe da keine Ähnlichkeit
10.05.2017, 15:38	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde das nicht mit $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ schreiben, sondern mit einer Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Der Differentialquotient von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray}$ . Siehst du jetzt eine Ähnlichkeit zu deinem Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0} \frac{2^x-1}{x} \end{eqnarray}$ ? Wie muss man also $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ wählen?
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10.05.2017, 15:56	Joly	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, jetzt hab ich es. f(x) wäre 2^x und $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ =0. Was bringt mir das jetzt um den Grenzwert zu bestimmen? Sorry, ich stehe wohl grade echt auf dem Schlauch!
10.05.2017, 15:58	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Was gibt denn der Differentialquotient an?
10.05.2017, 16:01	Joly	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Steigung der Funktion auf dem Intervall zwischen $\begin{eqnarray} x_{0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ , Also in dem Fall die Steigung der Funktion f(x)=2^x zwischen Null und x.
10.05.2017, 16:02	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das wäre der Differenzenquotient. Der Differentialquotient ist schon der Grenzwert.
10.05.2017, 16:24	Joly	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, sorry das hatte ich falsch gelesen. Also haben wir: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{2^x-1}{x}=(l'Hospital) \lim_{x \to 0} \frac{(2^x-1)'}{x'} <br /> =\lim_{x \to 0} \frac{x2^{x-1} }{1} \end{eqnarray}$ Dann substituiere ich zurück: $\begin{eqnarray} x= \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Und dann komme ich auf: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty}\ \frac{1}{n} * 2^{\frac{1}{n}-1} \end{eqnarray}$ also läuft es gegen 01/2. Und wo ist da jetzt log(2)??
10.05.2017, 16:28	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Differentialquotient $\begin{eqnarray} \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray}$ ist die Ableitung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ . D.h. $\begin{eqnarray} \lim_{x\to 0} \frac{2^x-1}{x} \end{eqnarray}$ ist die Ableitung von $\begin{eqnarray} f(x)=2^x \end{eqnarray}$ an der Stelle 0. Wenn man jetzt l'Hospital benutzt, verwendet man eigentlich die Ableitung, die man gerade erst ausrechnen will. Aber nun gut, machen wir es so. Bei deiner Rechnung hast du $\begin{eqnarray} 2^x \end{eqnarray}$ falsch abgeleitet. Und rücksubstituiert wird da am Ende nichts.
10.05.2017, 16:31	Joly	Auf diesen Beitrag antworten »
okay ich muss leider aufgeben, ich verstehe überhaupt nichts mehr, nichtmal wieso ich 2^x falsch abgeleitet habe.
10.05.2017, 16:34	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast anscheinend (fälschlicherweise) die Regel $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx} x^n=nx^{n-1} \end{eqnarray}$ angewendet. Die gilt aber nur für konstante Exponenten $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und Basis $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Bei $\begin{eqnarray} 2^x \end{eqnarray}$ ist das etwas völlig anderes. Tipp: $\begin{eqnarray} 2^x=e^{x\cdot \ln(2)} \end{eqnarray}$ . Das kannst du jetzt mit der Kettenregel ableiten. Ich muss erstmal weg, schaue dann heute Abend wieder rein.
10.05.2017, 18:47	Joly	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja klar, da hab ich überhaupt nicht dran gedacht. Mit dieser Schreibweise und der richtigen Ableitung hab ich es dann vorhin endlich hinbekommen und hab als Grenzwert ln(2) rausbekommen. Also vielen Dank nochmal für die Geduld und einen schönen Abend noch!

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