Umkehrfunktion bestimmen

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BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »
Umkehrfunktion bestimmen
Hallo zusammen,

ich hocke vor folgender Aufgabe und bin mir leider sehr unsicher:



Ich weiß, dass ich die Funktion quasi nach x auflösen muss.

also:
Jetzt würde ich ausmultiplizieren:



und nun würde ich auf beiden Seiten den Logarithmus anwenden:



hier komme ich leider nicht mehr weiter. Stimmt das überhaupt bis dahin? Wie muss ich weiter vorgehen?

LG
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umkehrfunktion bestimmen
Aus folgt leider nicht .

Mit der Substitution solltest Du weiterkommen.

Viele Grüße
Steffen
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Aber leider kann ich damit nichts anfangen, ehrlich gesagt verwirrt mich das noch mehr traurig



Meinst Du das so?

LG
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Fast. Wenn , was ist dann ?
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »



So?

Aber wie mache ich nun weiter? Irgendwie zusammenfassen ? Den Logarithmus kann ich mir ja nun sparen?!

LG
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Multipliziere mal auf beiden Seiten mit z.

Jetzt?
 
 
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,

dann erhalte ich :



wenn ich ausmultipliziere:



das z im 2 Term kürzt sich zu 1/2 weg, sodass:



Stimmt es noch bis hier hin? Jetzt muss ich gucken, dass ich alle z irgendwie zusammenfasse,oder?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Alles bestens. Und schon strahlt Dich eine wunderschöne quadratische Gleichung an.
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

Das sehe ich jetzt auch, aber wie fahre ich nun fort? Muss ich nicht alle z auf eine Seite bringen?
Die bisherigen Aufgaben, die ich dazu lösen musste, waren deutlich leichter.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie immer: alles nach links, das bei z² heißt a, das bei z heißt b, der Rest heißt c. Und ab in die Mitternachtsformel. Oder wenn die nicht so sitzt, noch alles durch a teilen und die pq-Formel.
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

gut, ich habe beide Seiten mit 2 multipliziert:

?!

Ich verstehe nur nicht, wieso ich für die Umkehrfunktion hier die pq-Formel benötige. Sowas ging sonst auch durch einfache Umformungen
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Prima, jetzt die beiden Lösungen bestimmen und resubstituieren.
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

ich erhalte z1=2,414 und z2= -0,414.

wenn ich resubstituiere kriege ich :



So?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BVB09
ich erhalte z1=2,414 und z2= -0,414


Wie das? Wo ist das y geblieben?
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß es ehrlich gesagt nicht. Das da -2zy steht, irritiert mich richtig

Ich versuche es nochmal:

pq Formel:

=>

Stimmt das überhaupt so?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, leider nicht. Das z hat in der Formel nichts verloren, das wollen wir ja bestimmen.

Mal langsam: wir haben also



Das ist eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten z. Die lösen wir also mit der pq-Formel. Also holen wir jetzt ganz stur das p und q da raus:



Siehst Du, was ich meine? Nun mach genauso stur weiter.

Dann hast Du die beiden herausgefunden. Was musst Du dann nur noch tun, um die beiden x zu erhalten? Und warum ist nur eine der Lösungen sinnvoll?

Nach dem Abendessen machen wir weiter.
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wünsche ich Dir guten Hunger!


Okay, dann hole ich nochmal tief Luft:

ich erhalte als Lösungen:




Nun richtig?

Ich muss nun beide Ergebnisse für z in z=e^x und den Logarithmus anwenden?!
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Leider immer noch nicht.

Die pq-Formel lautet doch . Was ist denn hier ? Stur bleiben!
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

-p/2 wären doch 2y/2 bzw. y wenn ich -2y einsetze, oder nicht?!
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig! Also...?
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

dann steht da
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt! Und das ist also . Was ist dann somit ?
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde den Logarithmus anwenden?!
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es! Was stehen dann da für zwei Lösungen? Das in der Klammer kannst Du natürlich noch vereinfachen.
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

und wenn ich vorher alles noch zusammenfasse?!
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, dann hast Du etwas eigenwillig zusammengefasst. Was ist denn ?
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

das ist y^2 ?!
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, und dann? Achtung, die 1 steht unter der Wurzel!
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

dann würde ich aus dem y^2 und der 1 jeweils die wurzel ziehen!
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein! .

Die Wurzel muss also so stehenbleiben. Was ist nun das Endergebnis?
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

bzw.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wobei statt z nun x stehen muss, Du hast ja schon resubstituiert.

Als nächstes also x und y vertauschen und dann überlegen, welche Lösung nicht in Frage kommen kann.
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

also bzw.


was genau meinst du mit vertauschen?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Was hat der ln für eine Definitionsmenge?

Und mit vertauschen meine ich vertauschen. Die Umkehrfunktion soll ja als y(x) geschrieben werden.
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Logarithmus ist für alle positiven reelen Zahlen definiert,also ist x2 keine sinnvolle Lösung?!
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, denn das Argument ist immer negativ.

Somit bleibt nur eine Lösung für die Umkehrfunktion des sinh, und die ist richtig, wie Du z.B. hier bestätigt bekommst.

Viele Grüße
Steffen
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, tatsächlich. Muss ich das vertauschen mit Hilfe von Umformungen machen oder kann ich die einfach tatsächlich so "tauschen"?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach vertauschen, wie immer.

Um z.B die Umkehrfunktion von y=2x zu finden, löst Du erst nach x auf (x=0,5y) und vertauschst dann: y=0,5x. So auch hier.
BVB09 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann habe ich als Schlussergebnis:

?!
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es.

Viele Grüße
Steffen
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