Umkehrfunktion bestimmen

10.05.2017, 16:10

BVB09

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Umkehrfunktion bestimmen

Hallo zusammen,

ich hocke vor folgender Aufgabe und bin mir leider sehr unsicher:

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \Rightarrow \mathbb R , x\Rightarrow f(x)=\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x} \right) := sinh x \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass ich die Funktion quasi nach x auflösen muss.

also: $\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x} \right) \end{eqnarray*}$
Jetzt würde ich ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{2}e^{x}-\frac{1}{2}e^{-x} \end{eqnarray*}$

und nun würde ich auf beiden Seiten den Logarithmus anwenden:

$\begin{eqnarray*} ln(y)= ln(\frac{1}{2}x)- ln(-\frac{1}{2}x) \end{eqnarray*}$

hier komme ich leider nicht mehr weiter. Stimmt das überhaupt bis dahin? Wie muss ich weiter vorgehen?

LG

10.05.2017, 16:19

Steffen Bühler

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RE: Umkehrfunktion bestimmen
Aus $\begin{eqnarray*} a=b-c \end{eqnarray*}$ folgt leider nicht $\begin{eqnarray*} \ln a=\ln b-\ln c \end{eqnarray*}$ .

Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} z=e^x \end{eqnarray*}$ solltest Du weiterkommen.

Viele Grüße
Steffen

10.05.2017, 16:44

BVB09

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Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Aber leider kann ich damit nichts anfangen, ehrlich gesagt verwirrt mich das noch mehr traurig

traurig

$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{2}\left(z-z^{-x} \right) \end{eqnarray*}$

Meinst Du das so?

LG

10.05.2017, 16:53

Steffen Bühler

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Fast. Wenn $\begin{eqnarray*} e^x=z \end{eqnarray*}$ , was ist dann $\begin{eqnarray*} e^{-x}=\frac 1 {e^x} \end{eqnarray*}$ ?

10.05.2017, 17:30

BVB09

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$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{2}\left(z-\frac{1}{z} \right) \end{eqnarray*}$

So?

Aber wie mache ich nun weiter? Irgendwie zusammenfassen ? Den Logarithmus kann ich mir ja nun sparen?!

LG

10.05.2017, 17:33

Steffen Bühler

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Multipliziere mal auf beiden Seiten mit z.

Jetzt?

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10.05.2017, 17:43

BVB09

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Okay,

dann erhalte ich :

$\begin{eqnarray*} zy=\frac{1}{2}z \left(z-\frac{1}{z} \right) \end{eqnarray*}$

wenn ich ausmultipliziere:

$\begin{eqnarray*} zy= \frac{1}{2}z^{2}-\frac{z}{2z} \end{eqnarray*}$

das z im 2 Term kürzt sich zu 1/2 weg, sodass:

$\begin{eqnarray*} zy= \frac{1}{2}z^{2}-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Stimmt es noch bis hier hin? Jetzt muss ich gucken, dass ich alle z irgendwie zusammenfasse,oder?

10.05.2017, 17:45

Steffen Bühler

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Alles bestens. Und schon strahlt Dich eine wunderschöne quadratische Gleichung an.

10.05.2017, 17:48

BVB09

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Das sehe ich jetzt auch, aber wie fahre ich nun fort? Muss ich nicht alle z auf eine Seite bringen?
Die bisherigen Aufgaben, die ich dazu lösen musste, waren deutlich leichter.

10.05.2017, 17:50

Steffen Bühler

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Wie immer: alles nach links, das bei z² heißt a, das bei z heißt b, der Rest heißt c. Und ab in die Mitternachtsformel. Oder wenn die nicht so sitzt, noch alles durch a teilen und die pq-Formel.

10.05.2017, 17:57

BVB09

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gut, ich habe beide Seiten mit 2 multipliziert:

$\begin{eqnarray*} 0=z^{2}-2zy-1 \end{eqnarray*}$ ?!

Ich verstehe nur nicht, wieso ich für die Umkehrfunktion hier die pq-Formel benötige. Sowas ging sonst auch durch einfache Umformungen

10.05.2017, 18:02

Steffen Bühler

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Prima, jetzt die beiden Lösungen bestimmen und resubstituieren.

10.05.2017, 18:08

BVB09

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ich erhalte z1=2,414 und z2= -0,414.

wenn ich resubstituiere kriege ich :

$\begin{eqnarray*} 0=e^{2x}-2e^xy-1 \end{eqnarray*}$

So?

10.05.2017, 18:09

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von BVB09
ich erhalte z1=2,414 und z2= -0,414

Wie das? Wo ist das y geblieben?

10.05.2017, 18:22

BVB09

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Ich weiß es ehrlich gesagt nicht. Das da -2zy steht, irritiert mich richtig

Ich versuche es nochmal:

pq Formel: $\begin{eqnarray*} \frac{2zy}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-2zy}{2} \right)^2 +1} \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} zy\pm \sqrt{\left(y^2z^2\right) +1} \end{eqnarray*}$

Stimmt das überhaupt so?

10.05.2017, 18:29

Steffen Bühler

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Nein, leider nicht. Das z hat in der Formel nichts verloren, das wollen wir ja bestimmen.

Mal langsam: wir haben also

$\begin{eqnarray*} z^2-2zy-1=0 \end{eqnarray*}$

Das ist eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten z. Die lösen wir also mit der pq-Formel. Also holen wir jetzt ganz stur das p und q da raus:

$\begin{eqnarray*} z^2-2zy-1=z^2+\color{red}(-2y) \color{black}z+ \color{blue}(-1)\color{black} \end{eqnarray*}$

Siehst Du, was ich meine? Nun mach genauso stur weiter.

Dann hast Du die beiden $\begin{eqnarray*} z=e^x \end{eqnarray*}$ herausgefunden. Was musst Du dann nur noch tun, um die beiden x zu erhalten? Und warum ist nur eine der Lösungen sinnvoll?

Nach dem Abendessen machen wir weiter.

10.05.2017, 18:40

BVB09

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Dann wünsche ich Dir guten Hunger!

Okay, dann hole ich nochmal tief Luft:

ich erhalte als Lösungen:

$\begin{eqnarray*} z1=2y+\sqrt{1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z2=\sqrt{1} \end{eqnarray*}$

Nun richtig?

Ich muss nun beide Ergebnisse für z in z=e^x und den Logarithmus anwenden?!

10.05.2017, 19:53

Steffen Bühler

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Leider immer noch nicht.

Die pq-Formel lautet doch $\begin{eqnarray*} z_{1/2}=- \frac p2 \pm \sqrt { \left( \frac p2 \right)^2 -q} \end{eqnarray*}$ . Was ist denn hier $\begin{eqnarray*} - \frac p2 \end{eqnarray*}$ ? Stur bleiben!

10.05.2017, 20:01

BVB09

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-p/2 wären doch 2y/2 bzw. y wenn ich -2y einsetze, oder nicht?!

10.05.2017, 20:02

Steffen Bühler

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Richtig! Also...?

10.05.2017, 20:08

BVB09

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dann steht da $\begin{eqnarray*} y\pm \sqrt{\left(\frac{-2y}{2} \right)^2 +1} \end{eqnarray*}$

10.05.2017, 20:12

Steffen Bühler

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Perfekt! Und das ist also $\begin{eqnarray*} z=e^x \end{eqnarray*}$ . Was ist dann somit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ?

10.05.2017, 20:14

BVB09

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Ich würde den Logarithmus anwenden?!

10.05.2017, 20:17

Steffen Bühler

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So ist es! Was stehen dann da für zwei Lösungen? Das in der Klammer kannst Du natürlich noch vereinfachen.

10.05.2017, 20:30

BVB09

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$\begin{eqnarray*} ln (2y+\sqrt{1}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ln(\sqrt{1}) \end{eqnarray*}$ wenn ich vorher alles noch zusammenfasse?!

10.05.2017, 20:37

Steffen Bühler

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Hm, dann hast Du etwas eigenwillig zusammengefasst. Was ist denn $\begin{eqnarray*} \left(\frac{-2y}{2} \right)^2 \end{eqnarray*}$ ?

10.05.2017, 20:39

BVB09

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das ist y^2 ?!

10.05.2017, 20:51

Steffen Bühler

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Richtig, und dann? Achtung, die 1 steht unter der Wurzel!

10.05.2017, 20:54

BVB09

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dann würde ich aus dem y^2 und der 1 jeweils die wurzel ziehen!

10.05.2017, 20:57

Steffen Bühler

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Nein! $\begin{eqnarray*} \sqrt{a+b} \neq \sqrt{a}+\sqrt{b} \end{eqnarray*}$ .

Die Wurzel muss also so stehenbleiben. Was ist nun das Endergebnis?

10.05.2017, 21:02

BVB09

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$\begin{eqnarray*} z1=ln(y+\sqrt{y^2+1}) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} z2=ln(y-\sqrt{y^2+1}) \end{eqnarray*}$

10.05.2017, 21:07

Steffen Bühler

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Ja, wobei statt z nun x stehen muss, Du hast ja schon resubstituiert.

Als nächstes also x und y vertauschen und dann überlegen, welche Lösung nicht in Frage kommen kann.

10.05.2017, 21:11

BVB09

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also $\begin{eqnarray*} x1=ln(y+\sqrt{y^2+1}) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x2=ln(y-\sqrt{y^2+1}) \end{eqnarray*}$

was genau meinst du mit vertauschen?

10.05.2017, 21:22

Steffen Bühler

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Was hat der ln für eine Definitionsmenge?

Und mit vertauschen meine ich vertauschen. Die Umkehrfunktion soll ja als y(x) geschrieben werden.

10.05.2017, 21:28

BVB09

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Der Logarithmus ist für alle positiven reelen Zahlen definiert,also ist x2 keine sinnvolle Lösung?!

10.05.2017, 21:33

Steffen Bühler

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Genau, denn das Argument ist immer negativ.

Somit bleibt nur eine Lösung für die Umkehrfunktion des sinh, und die ist richtig, wie Du z.B. hier bestätigt bekommst.

Viele Grüße
Steffen

10.05.2017, 21:43

BVB09

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Ah, tatsächlich. Muss ich das vertauschen mit Hilfe von Umformungen machen oder kann ich die einfach tatsächlich so "tauschen"?

10.05.2017, 21:48

Steffen Bühler

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Einfach vertauschen, wie immer.

Um z.B die Umkehrfunktion von y=2x zu finden, löst Du erst nach x auf (x=0,5y) und vertauschst dann: y=0,5x. So auch hier.

10.05.2017, 21:57

BVB09

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Gut, dann habe ich als Schlussergebnis:

$\begin{eqnarray*} y= ln(x+\sqrt{x^2+1}) \end{eqnarray*}$ ?!

10.05.2017, 22:06

Steffen Bühler

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So ist es.

Viele Grüße
Steffen

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