Moduln

10.05.2017, 16:50	Statista	Auf diesen Beitrag antworten »
Moduln Meine Frage: 1. Betrachte für natürliche Zahlen n>1 den Ring $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_n \end{eqnarray}$ einmal 1.1 als Modul über $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ und ein weiteres Mal 1.2 als Modul über sich selbst. Für welche n sind welche diese Moduln frei? 2. Finde ein Beispiel eines freien Moduls mit einem nicht freien Untermodul. 3. Zeige das ein K-Vektorraum V, als K-Modul aufgefasst, die Länge dim(V) hat. 4. Gibt es eine unendliche Kette von Untermoduln von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , die bezeugt dass $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ als Modul über sich selbst unendliche Länge hat? Meine Ideen: Zu 1: 1.1 - Ich denke hier ist für kein n ein Modul frei, denn ich kann ja immer eine ganze Zahl nehmen und sie mit allen Elementen aus meinem Modul so multiplizieren, dass das Ergebnis in der Äquivalenzklasse der 0 liegt. 1.2 - Ich denke hier ist für jedes n das Modul frei, denn ich kann nie die 1 zur Null werden lassen, da ich die 1 dann mit der Zahl n multiplizieren müsste, das größte Element in meinem Ring ist aber jeweils nur n-1. Zu 2: $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray}$ ist ein Ring und ein R-Modul über sich selbst. Dieses hat mit der 1 ein freies Erzeugendensystem und ist damit frei. $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ als Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray}$ ist nicht frei, denn die 1 kann mit der 2 aus dem Ring $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray}$ multipliziert werden und ist somit 0. Zu 3 und 4: Ich weiß nicht, ob ich die Definition von Länge richtig verstanden habe. Ist es einfach die Anzahl der größtmöglichsten Kette von Untermoduln, die zusammen das Modul ergeben? Wie bestimme ich denn das konkret bzw. in Bezug auf die Aufgaben? Waren meine Überlegungen zu 1 und 2 richtig?
13.05.2017, 11:41	Statista	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat keiner eine Idee? Für 3 hab ich eine, denke ich , passable Lösung gefunden. 4 lässt sich ja auf das Problem reduzieren, eine unendlich aufsteigende Kette von Untermoduln zu finden an deren Ende $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ steht. Nur weiß ich leider nicht, wie das gemacht werden kann. Was ist mit 1 und 2? sind meine Überlegungen hier richtig? Für die Notationsweise: $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_n \end{eqnarray}$ steht für $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/{n\mathbb{Z}} \end{eqnarray}$
13.05.2017, 18:04	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
1. scheint mir richtig 2. inwiefern ist denn $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray}$ ?
13.05.2017, 18:09	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Das passiert, wenn man $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_n \end{eqnarray}$ , was übrigens eine katastrophale Bezeichnung ist, als Menge $\begin{eqnarray} \{1,...,n\} \end{eqnarray}$ mit einer entsprechend zurechtgebogenen Addition (und ggf. Multiplikation) definiert. Kann man zwar so machen, ist dann aber doof, wie das Beispiel $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2 \stackrel{?}{\subseteq} \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray}$ eindrucksvoll zeigt...
13.05.2017, 18:27	Statista	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_5 = \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} = \{0,1,2,3,4\} ; <br /> \mathbb{Z}_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = \{0,1\} \end{eqnarray}$ Meine Idee war nun $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_5 \end{eqnarray}$ ist ein Modul über sich selbst und $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_2 \end{eqnarray}$ ist ein Untermodul davon. Ersteres ist frei letzteres nicht, denn 2*1=2=0 wegen Modulo-Rechnung.
13.05.2017, 18:48	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
jester hat schon deutlich geschrieben, was davon zu halten ist. $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ besteht aus zwei Mengen, nämlich den geraden Zahlen und den ungeraden Zahlen. Die erste schreibt man gern als $\begin{eqnarray} \bar{0} \end{eqnarray}$ , die zweite als $\begin{eqnarray} \bar{1} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ besteht aus fünf Mengen, nämlich $\begin{eqnarray} \{0, \pm 5, \pm 10,\ldots \} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \{\ldots, -9, -4, 1, 6 \ldots \} \end{eqnarray}$ und so weiter. Die erste schreibt man gern als $\begin{eqnarray} \bar{0} \end{eqnarray}$ , die zweite als $\begin{eqnarray} \bar{1} \end{eqnarray}$ und so weiter. Sie haben aber nichts mit den oben genannten Mengen zu tun. Die Idee an sich ist nicht schlecht, du musst nur nochmal über die Gruppe und ihre Untergruppe nachdenken
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13.05.2017, 18:58	Statista	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist mit dem freien Modul $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ über sich selbst und dem trivialen Untermodul $\begin{eqnarray} \{0\} \end{eqnarray}$ , der ja offensichtlich nicht frei ist.
13.05.2017, 19:15	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht. Alternativ kann man $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ und die Untergruppe $\begin{eqnarray} \{\bar{0},\bar{2}\} \end{eqnarray}$ nehmen.

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