Periodischer Punkt/ Fixpunkt/ kontrahierende Iteration

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alina94 Auf diesen Beitrag antworten »
Periodischer Punkt/ Fixpunkt/ kontrahierende Iteration
Hey,

Ich versuche mich gerade an folgender Fragestellung:

Es ist eine abgeschlossene Teilmenge eines Banachraums gegeben und ein stetiger Operator , sodass die Iteration für ein aus den natürlichen Zahlen eine Kontraktion bildet. Zu zeigen ist dann, dass einen eindeutigen Fixpunkt besitzt.

Also nach dem Banachschen Fixpunktsatz ist klar, dass natürlich einen Fixpunkt besitzt, deshalb dachte ich erst man könnte aus der Existenz eines solchen periodischen Punktes von die Existenz des Fixpunktes folgern, bin hier aber nicht weitergekommen. Dann habe ich versucht, ähnlich wie im Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes vorzugehen:

Wenn wir beliebiges und natürliches wählen, so können wir schreiben für natürliche mit und es ergibt sich

,

wobei die Lipschitzkonstante von bezeichnet. Wenn ich jetzt zeigen könnte, dass beschränkt ist durch bzw mit konstantem für alle , dann müsste aus obiger Abschätzung wie im Banachschen Fixpunktsatz die Folge der eine Cauchy-Folge bilden und man könnte analog den eindeutigen Fixpunkt beweisen.

Meine Idee dazu war, dass man annimmt



und damit folgern könnte, dass dann auch

(*)

für beliebige , also insbesondere , so ergäbe das einen Widerspruch dazu, dass Kontraktion ist und man würde die benötigte Abschätzung erhalten.

Leider habe ich keine Idee, wie (und ob) man (*) zeigen kann, hat da vielleicht jemand einen Tipp? Beziehungsweise, ist dieser Ansatz (oder mein erster) überhaupt zielführend?

Vielen Dank schon mal smile
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RE: Periodischer Punkt/ Fixpunkt/ kontrahierende Iteration
Deine erste Idee, aus dem Fixpunkt von auf den Fixpunkt von zu schließen, war schon gut. Aus folgt und ist eine Kontraktion.
alina94 Auf diesen Beitrag antworten »

oh natürlich, und wenn ich die Norm davon dann mit der Lipschitz-konstante < 1 abschätze, ergibt sich, dass auch Fixpunkt von selbst ist... Danke!
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