Exponentialmatrix

10.05.2017, 18:37

PhysX2

Exponentialmatrix

Ich habe die Exponentialmatrix

1t 1t
0 0
gegeben.

Laut Wolfram resultiert

e^t -1+e^t

0 1

Meine Rechnung ergibt jedoch

e^t t*e^t

0 1

Daher frage ich mich wie man auf das -1+e^t kommt.

Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!!!

10.05.2017, 18:58

HAL 9000

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$\begin{align*} \exp\left( \begin{pmatrix} t & t\\ 0 & 0\end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} e^t & e^t-1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{align*}$ ist richtig, das sieht man allein schon am schnell überprüfbaren

$\begin{align*} \begin{pmatrix} t & t\\ 0 & 0\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} t^n & t^n\\ 0 & 0\end{pmatrix} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ .

10.05.2017, 19:06

PhysX2

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Ja. Aber ich komme bei meiner Berechnung einfach nicht auf diese e^t -1 sondern auf t*e^t..

10.05.2017, 19:08

HAL 9000

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Dann rechnest du falsch. Ich hab hier leider keine Hellseherkugel, mit der ich deine konkreten Rechenschritte sehe, also schreibe sie doch bitte auf.

10.05.2017, 19:20

PhysX2

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Ok gegeben habe ich

t t
0 0

Jetzt habe ich die Umformung exp(a)*exp(b)=exp(a+b) genutzt

Für
exp (a) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

exp(b) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun beide multipliziere also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e^t & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & t \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Komme ich auf $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e^t & te^t \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

10.05.2017, 19:24

PhysX2

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Nachtrag

als exp(A) habe ich als aller erstes

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und als

exp(B)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & t \\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wonach dann mithilfe der Exponentialreihe die unten gennanten Ergebnisse für exp (a) und exp (b) erfolgen

10.05.2017, 19:28

HAL 9000

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Es gilt $\begin{eqnarray*} \exp(A+B)=\exp(A)\cdot \exp(B) \end{eqnarray*}$ unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} AB=BA \end{eqnarray*}$ . Hast du die Gültigkeit der Voraussetzung für deine Wahl von $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ überprüft? Augenzwinkern

10.05.2017, 19:39

PhysX2

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Ok... stimmt das war dumm

Ich hatte das ganze auch mit

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t & t \\ 0 & 0\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

berechnet ohne das ganze Umzuformen...

Dann kommt bei mir raus..

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1+1t+\frac{1t^2}{2!}+\frac{1t^3}{3!} & 0+1t+\frac{1t^2}{2!}+\frac{1t^3}{3!} \\ 0 & 1\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} 1+1t+\frac{1t^2}{2!}+\frac{1t^3}{3!} = e^t \end{eqnarray*}$

Kann man dann auch sagen:

$\begin{eqnarray*} 0+1t+\frac{1t^2}{2!}+\frac{1t^3}{3!} = -1+e^t \end{eqnarray*}$

Ich wüsste nähmlich da auch nicht wie man unbedingt auf die -1+e^t kommt

10.05.2017, 19:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von PhysX2
Kann man dann auch sagen:

$\begin{eqnarray*} 0+1t+\frac{1t^2}{2!}+\frac{1t^3}{3!} = -1+e^t \end{eqnarray*}$

Brauchst du eine Bestätigung für die Gleichung $\begin{align*} 0 = -1+1 \end{align*}$ ? Aber ja, das kann man so machen.

Zitat:

Original von PhysX2
Also: $\begin{eqnarray*} 1+1t+\frac{1t^2}{2!}+\frac{1t^3}{3!} = e^t \end{eqnarray*}$

Und bitte die "Pünktchen" nicht vergessen, denn die Exponentialfunktion ist nicht identisch mit dem von dir da angegebenen Polynom dritten Grades. unglücklich

$\begin{eqnarray*} 1+1t+\frac{1t^2}{2!}+\frac{1t^3}{3!} + \ldots = e^t \end{eqnarray*}$

10.05.2017, 19:47

PhysX2

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Nein, aber mein Prof bestimmt Big Laugh

Spaß bei Seite.. Ich danke dir nochmal das du dir die Zeit genommen hast..

Ich werde mir das jetzt alles nochmal angucken smile

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