Normaler Endomorphismus

10.05.2017, 23:33	danooh	Auf diesen Beitrag antworten »
Normaler Endomorphismus Meine Frage: Sitze an folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} (V,\Psi) \end{eqnarray}$ eukl. VR und $\begin{eqnarray} \alpha \in End(V) \end{eqnarray}$ . Seien $\begin{eqnarray} \alpha_{+}:=\frac{1}{2}(\alpha +\alpha^{ad}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha_{-}:=\frac{1}{2}(\alpha -\alpha^{ad}) \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ genau dann normal ist, wenn $\begin{eqnarray} \alpha_{+} \circ \alpha_{-} = \alpha_{-} \circ \alpha_{+} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Nach unserer Definition ist ein End. $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ normal, wenn er mit seiner Adjungierten vertauschbar ist, also $\begin{eqnarray} \alpha \circ \alpha^{ad} = \alpha^{ad} \circ \alpha \end{eqnarray}$ Ich weiß auch, dass ich $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ hier in einen symmetrischen und einen schiefsymmetrischen Teil zerlegt habe. Nur wie kann ich das nutzen, um zu zeigen dass $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ normal ist? :?
11.05.2017, 08:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heißt "zerlegt"? Setze $\begin{eqnarray} \alpha=\alpha_++\alpha_- \end{eqnarray}$ in die linke Seite der zu beweisenden Gleichung ein und wundere dich nicht, wenn die rechte Seite heraus kommt.
11.05.2017, 08:49	danooh	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre dann die Rückrichtung, oder? Seien der symmetrische und schiefsymmetrische Teil vertauschbar => End. normal Nur komme ich beim Rechnen nicht weiter.
11.05.2017, 08:50	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Normaler Endomorphismus Hast du mal die linke und rechte Seite von $\begin{eqnarray} \alpha_{+} \circ \alpha_{-} = \alpha_{-} \circ \alpha_{+} \end{eqnarray}$ ausgerechnet? Edit: da war ich wohl nicht mehr auf dem aktuellen Stand
11.05.2017, 08:55	danooh	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht, wie ich das genau ausrechnen bzw. vereinfachen soll. Die Hintereinanderausführung bereitet mir Probleme - stehe einfachbauf dem Schlauch
11.05.2017, 09:20	danooh	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe nun beide Richtungen bewiesen. Danke an euch beide für den Tipp!
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