Cauchyscher Integralsatz

11.05.2017, 20:01

eni2208

Cauchyscher Integralsatz

Meine Frage:
Hallo, ich möchte ein Integral berechnen.
Und zwar: $\begin{eqnarray*} \int_{|z+1|=1} \! \frac{1}{(z+1)(z-1)^{3} } \, dz \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe erst mal Partialbruchzerlegung gemacht, dann habe ich $\begin{eqnarray*} \int_{|z+1|=1} \! \frac{1}{(z+1)(z-1)^{3} } \, dz = \int_{|z+1|=1} \! \frac{\frac{1}{8} }{(z-1)} \, dz- \int_{|z+1|=1} \! \frac{\frac{1}{4} }{(z-1)^{2}} \, dz+\int_{|z+1|=1} \! \frac{\frac{1}{2} }{(z-1)^{3}} \, dz-\int_{|z+1|=1} \! \frac{\frac{1}{8} }{(z+1)} \, dz \end{eqnarray*}$
Anschließend dann wohl Cauchyscher Integralsatz, aber mit dem habe ich noch so meine Probleme unglücklich

11.05.2017, 21:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von eni2208
Anschließend dann wohl Cauchyscher Integralsatz

Bei den ersten drei Teilintegralen ja. Beim vierten und letzten dann allerdings eher die Cauchysche Integralformel.

11.05.2017, 22:00

Clearly_wrong

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Die Partialbrucuzerlegung ist eigentlich nicht notwendig. Man kann die Integralformel direkt auf $\begin{align*} z\mapsto (z-1)^{-3} \end{align*}$ anwenden.

12.05.2017, 01:50

eni2208

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Achso, ok.Danke smile

Reicht dann einfach

$\begin{eqnarray*} \int_{|z+1|=1} \! \frac{1}{(z+1)(z-1)^3} \, dz = \int_{|z+1|=1} \! \frac{\frac{1}{(z-1)^3} }{(z+1)} \, dz = \frac{1}{((-1)-1)^3}2\pi i =-4\pi i \end{eqnarray*}$ ?

12.05.2017, 07:17

HAL 9000

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Zahlenrechnen...
Sagen wir es mal so: Der vorletzte Term der Gleichungskette ist noch richtig. Augenzwinkern

12.05.2017, 19:15

eni2208

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Hmmm... Weiß gerade nicht, was du genau meinst. Finde den Fehler nicht
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{((-1)-1)^3}2\pi i =\frac{1}{(-2)^3}2\pi i=\frac{1}{-8}2 \pi i= -4\pi i<br /> \end{eqnarray*}$

12.05.2017, 19:21

HAL 9000

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Tja, scheint ein blinder Fleck zu sein. Richtig ist $\begin{align*} \frac{1}{-8}2 \pi i = -\frac{1}{4}\pi i \end{align*}$ . Augenzwinkern

12.05.2017, 19:24

eni2208

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Hab ich in meinen Notizen auch so stehen, aber gestern anscheinend falsch eingetippt und eben nur den Zwischenteil gemacht, der Rest copy and paste vom vorherigen Teil. Danke Big Laugh

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