Konvergenzbeweis a<b

12.05.2017, 23:25

Whistle23

Konvergenzbeweis a<b

Hallo ihr Lieben!

Momentan sitze ich an folgender Übungsaufgabe und weiß nicht mehr weiter:

Es seien (an) bzw.(bn) konvergente Folgen mit Grenzwerten a und b. Zeige, dass aus a<b diie Existenz einer Zahl n0 Element der natürlichen Zahlen mit an < bn für alle n > n0 gilt.

Leider stehe ich momentan auf der Leitung und habe keinen Lösungsansatz. Könnt ihr mir eventuell kleine Tipps geben?

Danke und lG,
Whistle

12.05.2017, 23:33

10001000Nick1

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Tipp: Benutze die Definition von Konvergenz speziell für $\begin{eqnarray*} \varepsilon:=\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}$ .

12.05.2017, 23:53

Whistle23

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Danke für deine schnelle Antwort!

Im nächsten Schritt hätte ich jetzt versucht $\begin{eqnarray*} a_{n} - a < \frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}$ nach a<b umzuformen, aber das scheint nicht zu klappen. Daraus schließe ich, dass der von mir gewählte Weg falsch ist... unglücklich

13.05.2017, 00:02

10001000Nick1

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Schreib doch mal auf, was dir die Definition für dieses spezielle $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ sagt.

13.05.2017, 07:58

Whistle23

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Meinst du das?

13.05.2017, 09:29

10001000Nick1

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Ja (das gleiche auch noch für $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ ).

Jetzt kannst du zeigen, dass ab einem bestimmten Index gelten muss, dass $\begin{eqnarray*} b_n-a_n>0 \end{eqnarray*}$ .
(Mach dir vielleicht erstmal eine Skizze, in welchem Bereich die Folgenglieder $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ liegen müssen.)

13.05.2017, 12:46

Whistle23

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So, eine Skizze habe ich mir nun gezeichnet, aber richtig weitergeholfen hat mir das nicht.

Auf jeden Fall ist mir aber klar, dass ich n0 so wählen muss, dass der Abstand bn-an > 0 ist.

Wie kann ich aber nun somit n0 herausfinden? Ich vermute, dass ich dafür die Ungleichung beider Konvergenzdefinitionen miteinander verknüpfen muss. Aber wie?

13.05.2017, 13:05

10001000Nick1

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Ein bisschen aufpassen musst du noch bei den $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ : Die müssen bei den beiden Folgen nicht gleich sein.

$\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} -\frac{b-a}{2}<a_n-a<\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} |b_n-b|<\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} -\frac{b-a}{2}<b_n-b<\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}$ .

Kannst du dir daraus jetzt etwas "zusammenbasteln"?

13.05.2017, 13:14

Whistle23

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Nein, ich komme nicht drauf. Habe ausprobiert die Dreiecksungleichung darauf anzuwenden, aber das scheint nicht zu klappen... traurig

13.05.2017, 13:34

10001000Nick1

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Du willst $\begin{eqnarray*} a_n<b_n \end{eqnarray*}$ zeigen, musst also $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nach oben und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ nach unten abschätzen.

Einfach mal ein bisschen mit den Ungleichungen in meinem letzten Beitrag "spielen", umformen usw.

13.05.2017, 17:50

Whistle23

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Was du mit "nach oben/unten abschätzen" meinst, weiß ich nicht. Das wurde uns bisher noch nicht in der Vorlesung gezeigt.

Ich habe jetzt mal ausprobiert, weiß aber gar nicht so richtig, was ich jetzt überhaupt mache bzw. was mir das ganze bringt. Ich will ja versuchen ein n0 finden, aber inwiefern hilft mir hier dieses Vorgehen weiter?

13.05.2017, 18:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
$\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} -\frac{b-a}{2}<{\color{red}a_n-a<\frac{b-a}{2}} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} |b_n-b|<\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} {\color{red}-\frac{b-a}{2}<b_n-b}<\frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}$ .

Richte mal den Fokus auf die beiden rot markierten Ungleichungen, und stelle die nach $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ um. Siehst du da wirklich nichts?

Zu $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ : Beachte bitte, dass es Indizes $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ für die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} n_2 \end{eqnarray*}$ für die Folge $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ gibt, ab denen sich die Folgen in den jeweiligen $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebungen um die Grenzwerte $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ bewegen. $\begin{eqnarray*} n_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_2 \end{eqnarray*}$ werden i.a. verschieden sind. Ist das ein Problem für die Argumentation oder eher nicht? Zutreffend ist letzteres, aber was bedeutet das für ein hier noch gesuchtes $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ (zumindest dessen Existenz ist ja nachzuweisen) ?

13.05.2017, 19:21

Whistle23

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Danke für deine Rückmeldung. Nachdem ich die Ungleichungen umgestellt habe ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} a_{n} < \frac{b-a}{2} +a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} - \frac{b-a}{2} + b < b_{n} \end{eqnarray*}$ .

Wie bringe ich das aber nun in den Zusammenhang mit der Voraussetzung a < b?

Deinen letzten Satz verstehe ich nicht richtig. Warum gibt es verschiedene Indizes? Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass es ab einem gewissen n0, das für an und bn gleich ist, für alle weiteren Folgenglieder n die Ungleichung an < bn erfüllt ist. (siehe Skizze oben)
traurig

13.05.2017, 19:33

HAL 9000

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Herrje, muss man dich denn zu jedem kleinen selbstverständlichen Schritt extra auffordern ... Vereinfache doch mal die beiden Summenterme, d.h., bringe sie jeweils auf einen Bruchstrich!

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Was ist denn der Sinn der ganzen Konstruktion? Schauen wir uns man folgendes Bild an:

[attach]44443[/attach]

Es zeigt für die Grenzwerte $\begin{align*} {\color{red}a=3} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} {\color{blue}b=5} \end{align*}$ passende $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Umgebungen, die jeweils zwischen den gestrichelten Linien liegen. Wählt man nun $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ klein genug, so überschneiden sich dieses $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Umgebungen nicht, d.h., die $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Umgebung von $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ liegt vollständig unterhalb der von $\begin{align*} (b_n) \end{align*}$ , was dann natürlich auch für die innerhalb der $\begin{align*} \varepsilon \end{align*}$ -Umgebungen liegenden Folgenwerte gilt!!!

Und $\begin{align*} \varepsilon:=\frac{b-a}{2} \end{align*}$ entspricht gerade der Wahl, wo die obere rote gestrichelte Linie mit der unteren blauen gestrichelten Linie übereinstimmt, sich also die Umgebungen berühren - aber eben noch nicht schneiden. Augenzwinkern

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