Bestimme die Dimension des Teilraums

13.05.2017, 11:14

keptain

Bestimme die Dimension des Teilraums

Meine Frage:
Betsimmen sie die Dimension des Teilraums. (Bild im Anhang)

Meine Ideen:
Meine Antwort wäre: (?i,1,3) also dim(T)=1, da ich ja mit diesem Vektor den ganzen Teilraum "aufspannen" könnte.

Liege ich hier richtig? Mir scheint diese Lösung die logischste zu sein jedoch stellt sich mir noch die Frage wie man bei komplexeren Teilräumen vorgehen sollte wenn nach der Anzahl der Dimensionen gefragt wird.

Die zweite Frage:

Ist C3 ein Teilraum von C5?

Hier wäre meine Antwort aus purem mathematischem Instinkt, "Nein" dennoch wäre mir eine Erklärung recht, da ich nicht genau sagen kann wieso. Meiner Meinung nach können mit Vektoren aus C3 keine Vektoren aus C5 hinreichend beschrieben werden.

Ich hoffe ich finde hier Hilfe und würde mich freuen wenn nicht nur die Korrektheit beantwortet werden würde, sondern noch eine zusammenfassende, allgemeine Erklärung hinzugefügt werden würde. Vielen Dank im voraus!

13.05.2017, 11:35

Elvis

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RE: Bestimme die Dimension des Teilraums

Zitat:

Original von keptain
Meine Antwort wäre: (?i,1,3) also dim(T)=1, da ich ja mit diesem Vektor den ganzen Teilraum "aufspannen" könnte.

Du willst damit vermutlich sagen, dass $\begin{eqnarray*} \{\begin{pmatrix} i \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ und deshalb $\begin{eqnarray*} dim(T)=1 \end{eqnarray*}$ ist. Das ist richtig.

Zitat:

Original von keptain
Ist C3 ein Teilraum von C5?

Was genau ist C3 und C5 ? Meinst du $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb C^5 \end{eqnarray*}$ ? Für jeden Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\le m \end{eqnarray*}$

13.05.2017, 11:49

keptain

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RE: Bestimme die Dimension des Teilraums
Ich meine natürlich:

Den Raum C^3 und C^5 der komplexen Zahlen.

13.05.2017, 12:12

Elvis

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Ja, dann ist der eine ein Untervektorraum des anderen.

13.05.2017, 12:28

10001000Nick1

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RE: Bestimme die Dimension des Teilraums

Zitat:

Original von Elvis
Für jeden Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum des $\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\le m \end{eqnarray*}$

Das würde ich nicht so sehen; allein schon deswegen, weil $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ keine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ ist (falls $\begin{eqnarray*} n<m \end{eqnarray*}$ ).

Man kann natürlich den $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ mit einem Unterraum von $\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ identifizieren (durch $\begin{eqnarray*} K^n\ni x\mapsto (x,0,...,0)\in K^m \end{eqnarray*}$ ); dadurch wird aber $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ trotzdem nicht zu einem Unterraum von $\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ .

13.05.2017, 12:56

Elvis

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Du hast auch recht. Ich definiere $\begin{eqnarray*} K^n=Abb(\{1,...,n\},K) \end{eqnarray*}$ , und damit ist $\begin{eqnarray*} K^n\le K^m \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\le m \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt. Vektorräume betrachte ich ohnehin nur bis auf Isomorphie. Wenn man sich um die Teilmengen kümmern möchte, gibt es zugegebenermaßen viele Einbettungen, wie uns schon das Beispiel der euklidischen Geraden $\begin{eqnarray*} \mathbb R<\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ in der euklidischen Ebene zeigt.

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