Rechnen mit holomorphen Funktionen

13.05.2017, 12:06	Jessy21	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnen mit holomorphen Funktionen Meine Frage: Guten Tag! Ich komme gerad bei einer Aufgabe nicht weiter und wollte euch gerne mal um hilfe bitten. Die Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} \Omega = B_{1}(0) \end{eqnarray}$ und f holomorph, also $\begin{eqnarray} f \in \mathbb O(\Omega) \end{eqnarray}$ a) Zeige das für alle $\begin{eqnarray} z_{1} , z_{2} \in \Omega \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f(z_{2}) - f(z_{1}) = \int_{0}^{1} \! f'(z_{1}+t( z_{2}-z_{1})) (z_{2}-z_{1}) \, dt \end{eqnarray}$ b) Nehme zusätzlich an das $\begin{eqnarray} f'(0)=0 \end{eqnarray}$ ist und zeige dann, dass es ein r>0 gibt, sodass: $\begin{eqnarray} \| f(z_{2}) - f(z_{1})\| \leq \frac{1}{2} \| z_{1} -z_{2} \| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} z_{1} , z_{2} \in B_{r}(0) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: zu a) Habe mal versucht hier ein wenig rum zu rechen, bin mir aber unsicher was wirklich richtig oder falsch davon ist: $\begin{eqnarray} f(z_{2}) - f(z_{1}) = \int_{0}^{1} \! f'(z_{1}+t( z_{2}-z_{1})) (z_{2}-z_{1}) \, dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{f(z_{2}) - f(z_{1})}{(z_{2}-z_{1})} = \int_{0}^{1} \! f'(z_{1}+tz_{2}-tz_{1}) \, dt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{f(z_{2}) - f(z_{1})}{(z_{2}-z_{1})} = \left[z_{1}+tz_{2}-tz_{1} \right]_{0}^{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{f(z_{2}) - f(z_{1})}{(z_{2}-z_{1})} = (z_{2}-z_{1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(z_{2}) - f(z_{1}) = (z_{2}-z_{1})^2 \end{eqnarray}$ ich weiß jedoch auch nicht ob mich das jetzt wirklich weitergebracht hat, habe bisher noch keine ähnliche Aufgabe bearbeitet und bin mir hier sehr unsicher über die vorgehensweise, dachte vielleicht auch an Polarkoordinaten darstellung, habe da aber auch nichts nützliches rausbekommen :/ Hat jemand eine Idee/ einen Tipp?
13.05.2017, 13:10	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim 1. Schritt bin ich mir nicht sicher. Darf man aus einem reellen Integral eine komplexe Konstante herausziehen ? Der 2. Schritt ist offensichtlich falsch, denn du hast das $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ unter dem Integral vergessen. Der 3. Schritt ist auch falsch. Für eine konstante Funktion gilt das auch sicher nicht, denn links steht 0 und rechts das Quadrat des Abstands zweier Punkte aus der Einheitskreisscheibe. Mir scheint, du musst noch einmal die Definition des Kurvenintergrals nachschlagen.
14.05.2017, 18:08	Jessyy21	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir, an Kurvenintegrale hab ich garnicht gedacht, eigentlich steht dort ja genau die Definiton oder nicht ? Also wenn Kurvenintegrale so definiert sind: $\begin{eqnarray} \int_{\gamma }^{} \! f(x) \, dx = \int_{a}^{b} \! f(\gamma (t)) \gamma '(t) \, dt \end{eqnarray}$ Dann wäre hier ja einfach $\begin{eqnarray} \gamma (t) = z_{1} +t(z_{2}- z_{1}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \gamma '(t) = z_{2}- z_{1} \end{eqnarray}$ sowie a=0 und b=1 und würde dann nicht direkt schon folgen: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! f'(z_{1} +t(z_{2}- z_{1}))(z_{2}- z_{1}) dt = \int_{z_{1} }^{z_{2}} \! f'(x) \, dx = \left[f(x)\right]_{z_{1}}^{z_{2}} = f(z_{2}) - f(z_{1}) \end{eqnarray}$ oder wie genau hat hier der Weg $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ auszusehen?
14.05.2017, 18:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin kein Experte in Funktionentheorie, aber das scheint richtig zu sein. Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und damit auch $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ holomorph sind, ist das Integral vom Weg unabhängig. Die Strecke von $\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} z_2 \end{eqnarray}$ ist ganz sicher ein Weg im Holomorphiegebiet von $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ , denn Kreisscheiben sind konvex.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »