Bruchungleichung erweitern

13.05.2017, 21:03

BrixGlutenfrei

Bruchungleichung erweitern

Meine Frage:
Ist das in der zweiten Zeile erlaubt?

Eigentlich dachte ich, man müsste bei einer Gleichung/Ungleichung, alle Terme mit dem HN multiplizieren?
Was hier gemacht wird ist ja erweitern oder?

Meine Ideen:
siehe Bild

14.05.2017, 11:49

Bürgi

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RE: Bruchungleichung erweitern
Guten Morgen,

was bereitet Dir an diesem Schritt Bauchschmerzen?

Zitat:

Eigentlich dachte ich, man müsste bei einer Gleichung/Ungleichung, alle Terme mit dem HN multiplizieren?

Bei Bruchungleichungen beseitigst Du auf diese Art (meistens) eine Hälfte der Lösung. (Probiers mal aus!)

Das Standardlösungsverfahren bei Bruchungleichungen ist die Ungleichung so umzuformen, dass auf der einen Seite des Relationszeichens ein Bruch steht und auf der anderen Seite null.

Dann kann man die Ungleichung in eine Kette von einfacheren Ungleichungen aufspalten.

In Deinem Fall hast Du:

$\begin{eqnarray*} \frac ZN < 0~\implies~\left( \underbrace{Z<0}_{neg.}~\wedge \underbrace{N>0}_{pos.}\right)~~\vee~~\left(\underbrace{Z>0}_{pos.} \wedge \underbrace{N<0}_{neg.}\right) \end{eqnarray*}$

14.05.2017, 12:21

BrixGlutenfrei

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RE: Bruchungleichung erweitern

Zitat:

Original von Bürgi
was bereitet Dir an diesem Schritt Bauchschmerzen?

Moin,

mich verwirrt der zweite Schritt.

Ich verstehe nicht warum ich den ersten Termin nicht mit dem HN multiplizieren muss.
In meinen Unterlagen/Skript steht, dass man bei Gleichungen immer ALLES mit dem jeweiligen Term / HN multiplizieren muss.

Der Rest ist mir eigentlich klar.

14.05.2017, 12:49

BrixGlutenfrei

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Ahh....

Das $\begin{eqnarray*} \frac{2x-3}{2x-3} \end{eqnarray*}$ kürzt sich bei linken Term direkt raus oder? Deshalb geht es so weiter....

Wäre es dann nicht viel besser die Ungleichung nur mit (2x-3) zu multiplizieren?

14.05.2017, 12:57

Bürgi

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Hallo,

1. hast du beim Ausmultipliuieren der Klammer einen Vorzeichenfehler
und
2. setz doch mal einen x-Wert ein. Da die richtige Lösunge x kleiner 3 lautet, nimm x = 0 und setz das in die Originalungleichung. ein.

14.05.2017, 13:06

BrixGlutenfrei

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Ah ja das Vorzeichen...

Aber ist die 2. Lösung nicht besser?
Der 1. Weg ist trotzdem richtig?

Die 1. Lösung ist vom Prof aus der Übung... bin gerade dabei meine Lücken auszubessern.

14.05.2017, 14:51

Bürgi

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Hallo,

die 2. Lösung ist nicht besser sondern unvollständig. Ohne VZ-Fehler erhältst Du:
$\begin{eqnarray*} x < 3 \end{eqnarray*}$ , d.h., $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ gehört zu Deiner Lösungsmenge.

Wie ich schon vorschlug, setze x = 0 in die Originalungleichung ein:

$\begin{eqnarray*} \frac{3 \cdot 0 +9}{2 \cdot 0 -3} >6~\implies~ -3 > 6 \end{eqnarray*}$ und das ist wirklich sehr, sehr selten.

Wenn Du allerdings diesen Lösungsansatz benutzt
$\begin{eqnarray*} \frac ZN < 0~\implies~\left( \underbrace{Z<0}_{neg.}~\wedge \underbrace{N>0}_{pos.}\right)~~\vee~~\left(\underbrace{Z>0}_{pos.} \wedge \underbrace{N<0}_{neg.}\right) \end{eqnarray*}$
dann erhältst Du

$\begin{eqnarray*} \left( \underbrace{x-3<0}_{neg.}~\wedge \underbrace{2x-3>0}_{pos.}\right)~~\vee~~\left(\underbrace{x-3>0}_{pos.} \wedge \underbrace{2x-3<0}_{neg.}\right) \end{eqnarray*}$

Löse die vier Ungleichungen separat und fasse entsprechend den logischen Verknüpfungen (Konjunktion und Disjunktion) zusammen.

14.05.2017, 15:09

BrixGlutenfrei

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Ok danke. Ich merke schon, mir fehlen die Basics...

Ja diesen Lösungsansatz kenne/verstehe ich.

d.h bei Bruchungleichungen erweitern mit dem Ziel den Nenner zu kürzen macht keinen Sinn?
Wenn, dann lieber geschickt erweitern um zusammenzufassen?

14.05.2017, 16:31

Bürgi

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Hallo,

Ich wiederhole:

Zitat:

Das Standardlösungsverfahren bei Bruchungleichungen ist die Ungleichung so umzuformen, dass auf der einen Seite des Relationszeichens ein Bruch steht und auf der anderen Seite null.

Reihenfolge:

alle Bruchterme auf eine Seite des Relationszeichens
bei Summen mittels Hauptnenner alle Bruchterme zusammenfassen
Zerlegen in Ungleichungen entsprechend der Vorzeichen von Zähler und Nenner

Alles andere könnte auch zum Ziel führen. Es erfordert aber eine Menge Übersicht und Erfahrungen, die Abkürzungen zu erkennen und sicher anzuwenden.

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