Umgekehrte Dreiecksungleichung mit Metrik

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13.05.2017, 22:07	Ms20	Auf diesen Beitrag antworten »
Umgekehrte Dreiecksungleichung mit Metrik Hallo Leute ich bins wieder mal ) Ich habe Folgende Aufgabe(siehe Bild). Könnt Ihr mir ein Tipp geben ? Mit einer Metrik weiß ich Nicht so wie ich das machen soll Danke schonmal jetzt
13.05.2017, 22:26	ms20	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umgekehrte dreiecksungleichung mit Metrik Also wenn ich mal ganz dumm denke. Ich würde mir einfach die Dreiecksungleichung zur Hilfe nehmen und diese bisschen umformen also : $\begin{eqnarray} d(x,z) \leq d(x,y)+ d(y,z) \end{eqnarray}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray} \| d(x,z) -d(y,z)\| \leq d(x,y) \end{eqnarray}$ und wäre so schon die a) gezeigt ?
14.05.2017, 11:51	Ms20	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umgekehrte dreiecksungleichung mit Metrik Und leute was sagt ihr dazu?
14.05.2017, 12:31	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee sieht richtig aus, man sieht halt einfach nicht was du genau machst. Du nimmst eine Seite der zu beweisenden Aussage und formst dann mit Hilfe der Dreiecksungleichung das ganze um, achte dabei aber auf die Betragsstriche. Gruss Sito
14.05.2017, 12:47	ms20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich versuche es mal besser zu machen : zu a) Ich soll zeigen das die Umgekehrte dreiecksungleichung gilt also : $\begin{eqnarray} \| d(x,z) -d(y,z)\| \leq d(x,y) \end{eqnarray}$ das hier. Für Eine Metrik X gilt die dreiecksungleichung also : $\begin{eqnarray} \| d(x,z) -d(y,z)\| \leq d(x,y) \end{eqnarray}$ dies ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} d(x,z) -d(y,z) \leq d(x,y) \end{eqnarray}$ und dann habe ich mir gedacht da eine Metrik nicht <0 sein kann muss ich die linke seite in Betrag setzen also $\begin{eqnarray} \| d(x,z) -d(y,z)\| \leq d(x,y) \end{eqnarray}$
14.05.2017, 12:50	ms20	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry Da wo ich die dreiecksungleichung setze hat der Pc es nicht übernommen richtig wäre : $\begin{eqnarray} d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z) \end{eqnarray}$ und dies ist äquivalent zu $\begin{eqnarray} d(x,z) -d(y,z) \leq d(x,y) \end{eqnarray}$ und da eine Metrik nicht kleiner 0 sein kann habe ich mir gedacht das ich ein Betrag davor setze also $\begin{eqnarray} \|d(x,z) -d(y,z)\| \leq d(x,y) \end{eqnarray}$
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14.05.2017, 12:59	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst etwas aufpassen. Zu zeigen ist: $\begin{align} \|d(x,y)-d(y,z)\|\le d(x,z) \end{align}$ . Nun unterscheide zwei Fälle: 1. Fall: $\begin{align} d(x,y)-d(y,z)\le d(x,z) \end{align}$ 2. Fall: $\begin{align} d(y,z)-d(x,y)\le d(x,z) \end{align}$ Überleg dir hier noch einmal wieso genau diese zwei Fälle unterschieden werden müssen. Und jetzt versuch von $\begin{align} d(x,y)-d(y,z) \end{align}$ durch Umformungen (Dreiecksungleichung) auf $\begin{align} d(x,z) \end{align}$ zu kommen.
14.05.2017, 13:07	ms20	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay jetzt verstehe ich was ich falsch mache : Also für den 1.fall haben wir gerade durch Umformung die Dreiecksungleichung. Aber was mich etwas verwirrt müssen wir nicht zeigen das : $\begin{eqnarray} d(x,y)\geq \|d(x,z)-d(y,z)\| \end{eqnarray}$ gilt ? und da gibt es ja zwei fälle 1.Fall $\begin{eqnarray} d(x,y)\geq d(x,z)-d(y,z) \end{eqnarray}$ 2.Fall $\begin{eqnarray} d(x,y)\geq d(y,z)-d(x,z) \end{eqnarray}$ Für den 1.Fall gilt $\begin{eqnarray} d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z) \end{eqnarray}$ und das ist gerade die Dreiecksungleichung also muss diese Gelten ! Für den 2.Fall weiß ich leider noch nicht genau... ist das nicht so richtig wie ich es nun mache ?
14.05.2017, 13:34	ms20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich glaube ich habs jetzt Ich fang lieber nochmal ganz von vorne an: Es ist zu zeigen das die Umgekehrte Dreiecksungleichung gilt also zz: $\begin{eqnarray} d(x,y) \geq \|d(x,z)-d(y,z)\| \end{eqnarray}$ 1.Fall $\begin{eqnarray} d(x,y) \geq d(x,z)-d(y,z) \end{eqnarray}$ 2.Fall $\begin{eqnarray} d(x,y) \geq -d(x,z)+d(y,z) \end{eqnarray}$ zu 1.Fall: Durch Umformung: $\begin{eqnarray} d(x,y) +d(y,z) \geq d(x,z) \end{eqnarray}$ und das ist Die Dreiecksungleichung also muss diese Gelten.. zu 2.Fall Durch Umformung: $\begin{eqnarray} d(x,y) +- d(x,z) \geq d(y,z) \end{eqnarray}$ und da die Symetrie gilt : $\begin{eqnarray} d(y,x) +- d(x,z) \geq d(y,z) \end{eqnarray}$ also haben wir wieder die Dreiecksungleichung somit gilt die Behauptung $\begin{eqnarray} d(x,y) \geq \|d(x,z)-d(y,z)\| \end{eqnarray}$
14.05.2017, 14:56	ms20	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sagt ihr dazu Liebe Mathe freunde ?
15.05.2017, 17:10	ms20	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum Antwortet denn der "helfer" nicht mehr zu dem was ich gemacht habe ?!
15.05.2017, 22:33	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du so machen. Schöner finde ich folgendes: Die Dreiecksungleichung liefert $\begin{eqnarray} d(x,z) - d(y,z) \leq d(x,y) \end{eqnarray}$ für alle x,y,z. Jetzt kann man x und y vertauschen (Namen sind Schall und Rauch) und bekommt $\begin{eqnarray} d(y,z) - d(x,z) \leq d(y,x) \end{eqnarray}$ oder also $\begin{eqnarray} -(d(x,z) - d(y,z) ) \leq d(x,y) \end{eqnarray}$ Zusammen mit der ersten Ungleichung liefert das $\begin{eqnarray} \|d(x,z) - d(y,z) \|\leq d(x,y) \end{eqnarray}$

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