Sesquilinearform

14.05.2017, 12:21

Sito

Sesquilinearform

Tag zusammen,

Ich verstehe bei einer Aufgabe leider nicht so ganz was ich genau machen soll:
Sei $\begin{align*} (V,\langle\cdot ,\cdot\rangle ) \end{align*}$ ein endlichdimensionaler unitärer VR. Sei weiter $\begin{align*} \gamma: V \times V \to \mathbb{C} \end{align*}$ eine Sesquilinearform auf $\begin{align*} V \end{align*}$ . Zeigen Sie, dass ein $\begin{align*} T\in {\rm{End}}(V) \end{align*}$ existiert so dass für alle $\begin{align*} u,v\in V \end{align*}$ gilt: $\begin{align*} \gamma(u,v)=\langle Tu,v\rangle \end{align*}$ .

Nun ich weiss, dass sich für jede Sesquilinearform eine Darstellungsmatrix $\begin{align*} A \end{align*}$ finden lässt, indem ich sage: $\begin{align*} A_{ij}:=\gamma(b_i,b_j) \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} B=(b_1,\dots,b_n) \end{align*}$ eine Basis von $\begin{align*} V \end{align*}$ ist. Dann gilt ja: $\begin{align*} \gamma(u,v) = u^*Av \overset{!}{=}\langle Tu, v\rangle \end{align*}$ . Aber was genau soll denn $\begin{align*} \langle \cdot,\cdot \rangle \end{align*}$ genau sein, einfach irgendein komplexes Skalarprodukt? verwirrt

Naja, ich habe einfach mal weiter gemacht auch wenn ich mir nicht wirklich sicher bin. Da $\begin{align*} \langle \cdot,\cdot\rangle \end{align*}$ ein Skalarprodukt ist gibt es für dieses sicher auch eine Darstellungsmat., nennen wir sie $\begin{align*} B \end{align*}$ , so dass : $\begin{align*} \langle u, v\rangle =u^*Bv \end{align*}$ . Und jetzt noch mit dem von oben zusammensetzen: $\begin{align*} \gamma(u,v) = u^*Av \overset{!}{=}\langle Tu, v\rangle = (Tu)^*Bv = u^*T^*Bv \end{align*}$ und daraus folgt dann $\begin{align*} A=T^*B \Leftrightarrow T^*= AB^{-1} \Leftrightarrow T= (AB^{-1})^* \end{align*}$

Das sieht mir aber nicht unbedingt richtig aus, da ich z.B. ja nicht mit Sicherheit wissen kann, dass $\begin{align*} B \end{align*}$ invertierbar ist. Leider komme ich aber auch nicht wirklich auf eine andere Idee... Wäre also für ein paar Tipps dankbar.

Gruss Sito

14.05.2017, 19:47

jester.

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Ja, $\begin{eqnarray*} \langle ~ , ~ \rangle \end{eqnarray*}$ ist ein (d.h. irgendein nicht näher spezifiziertes) Skalarprodukt, also eine Hermitesche Sesquilinearform, die nicht ausgeartet ist. Letzteres ist gleich wichtig.
$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist irgendeine Sesquilinearform.

Betrachte die zwei linearen Abbildungen
$\begin{eqnarray*} \varphi_{\langle ~, ~\rangle} ~:~ V\to V^{*} , ~ v \mapsto \Big( x \mapsto \langle v , x \rangle \Big) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \varphi_{\gamma} ~:~ V\to V^{*} , ~ v \mapsto \Big( x \mapsto \gamma( v , x ) \Big) \end{eqnarray*}$
Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \varphi_{\langle ~ , ~ \rangle} \end{eqnarray*}$ invertierbar ist. Die Nichtausgeartetheit von $\begin{eqnarray*} \langle ~ , ~ \rangle \end{eqnarray*}$ geht dabei ein.
Definiere $\begin{eqnarray*} T ~:~ V \to V \end{eqnarray*}$ als Komposition der zwei genannten Abbildungen und rechne nach, dass es die gesuchte Eigenschaft hat.

15.05.2017, 19:20

muphys

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Zitat:

Original von jester.
Ja, $\begin{eqnarray*} \langle ~ , ~ \rangle \end{eqnarray*}$ ist ein (d.h. irgendein nicht näher spezifiziertes) Skalarprodukt, also eine Hermitesche Sesquilinearform, die nicht ausgeartet ist. Letzteres ist gleich wichtig.
$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist irgendeine Sesquilinearform.

Das verstehe ich nicht. Woher wissen wir, dass das komplexe Skalarprodukt nicht ausgeartet ist? Wir haben das komplexe Skalarprodukt in der Vorlesung als eine positiv definite hermitesche Form definiert. Ich habe extra noch auf Wikipedia nachgeschaut, auch da war von "nicht ausgeartet sein" nicht die Rede.
Wäre der Ansatz von Sito nicht sowieso auch richtig, falls $\begin{align*} \langle \cdot , \cdot \rangle \end{align*}$ nicht ausgeartet ist, daraus würde ja folgen, dass B invertierbar ist.

Grüsse
Muphys

15.05.2017, 23:06

jester.

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Jo, stimmt, eigentlich sagt man, dass ein Skalarprodukt positiv definit ist. Das habe ich wohl etwas verdrängt...
Daraus folgt aber natürlich, dass es nicht ausgeartet ist.

Daraus folgt auch, dass die Darstellungsmatrix invertierbar ist.
Der Ansatz des Fragestellers ist dann auch äquivalent.
Die Basiswahl ist aber nicht nötig und versperrt später den Blick auf eventuelle Verallgemeinerungen.

15.05.2017, 23:26

muphys

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Alles klar, danke für deine Hilfe.
Dass aus der positiv Definitheit des Skalarprodukts folgt, dass es nicht ausgeartet ist, ist eigentlich ziemlich offensichtlich, da bin ich wohl auf dem Schlauch gestanden. Sry, mein Fehler. verwirrt

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