Möbiustransformation bestimmen

14.05.2017, 17:38

JennyB.

Möbiustransformation bestimmen

Meine Frage:
Guten tag alle mann!

Ich häng gerade an einer Aufgabe zu Möbiustransformationen, also ich weiß das diese Kreise auf Kreise abbilden (geraden sind auch Kreise), aber trotzdem komme ich hier nicht weiter...

a)
Bilde $\begin{eqnarray*} \left\{ z\in \mathbb Z : 0< arg(z) < \frac{\pi}{4} \right\} = : \Omega_{1} \end{eqnarray*}$ biholomorph auf $\begin{eqnarray*} B_{1}(0) \end{eqnarray*}$ ab.

b) Bilde $\begin{eqnarray*} \left\{ z\in \mathbb Z : |z|< 1, Re(z)>0 \right\} = : \Omega_{2} \end{eqnarray*}$ biholomorph auf $\begin{eqnarray*} B_{1}(0) \end{eqnarray*}$ ab.

Meine Ideen:
zu a)
laut Skript gilt $\begin{eqnarray*} arg(z) = \theta \end{eqnarray*}$ und die Polarform von z gegeben ist durch $\begin{eqnarray*} z= r(cos(\theta)+isin(\theta)) \end{eqnarray*}$ .
Allerdings verstehe ich die erste Menge schon nicht ganz, also ist damit die Menge gemeint, die durch die Funktion f(x)=x und die x-Achse beschränkt ist (nur für positive realteile) oder nicht?

Zusätzlich um nun die Möbiustransformation zu bestimmen, habe ich bisher immer 3 Punkte genommen von denen ich wusste von wo nach wo diese abgebildet werden. Hier als Beispiel (wenn f die Möbiustrafo ist):
f(0)=0, aber welche Punkte liegen hier noch in Omega1 und wie kann ich diese wählen sodass auch meine Biholomorphie gesichert ist??

zu b)
Hier würde ich sagen das die Startmenge die Rechte Hälfte des Einheitskreises ohne Rand ist. Da ich nun aber keine Punkte auf dem Rand nehmen kann, wie soll ich die Punkte dann sonst wählen, also einfach irgendwo mitten drin ?? und auf welchen Wert/Stelle im Einheitskreis (Zielmenge) sollen diese dann genau abbilden??

Verstehe das ganze irgendwie noch nicht, bin dankbar für jegliche Tipps, oder natürlich auch andere vorgehensweisen smile

14.05.2017, 18:48

Elvis

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Ich sehe nicht, dass man das mit Möbiustransformationen schafft. Die Aufgabe verlangt ja auch biholomorphe Funktionen, und nicht spezielle Funktionen.
b) scheint mir leichter zu sein als a)
Für a) würde ich über die obere Halbebene zum Einheitskreis kommen (den zweiten Schritt mit Möbius, genauer mit Cayley).

14.05.2017, 18:55

HAL 9000

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Beiläufig bemerkt: Statt $\begin{align*} z\in\mathbb{Z} \end{align*}$ ist sicher $\begin{align*} z\in\mathbb{C} \end{align*}$ gemeint. Augenzwinkern

14.05.2017, 18:59

Elvis

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Zitat:

Original von HAL 9000
Beiläufig bemerkt: Statt $\begin{align*} z\in\mathbb{Z} \end{align*}$ ist sicher $\begin{align*} z\in\mathbb{C} \end{align*}$ gemeint. Augenzwinkern

Das hat mein Gehirn vollautomatisch so wahrgenommen, kann ja gar nicht anders sein. Willkommen

14.05.2017, 19:26

JennyB.

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@Elvis also meinst du damit das ich die Menge erst durch eine Funktion auf die obere Halbebene abbilden soll und dann verknüpft mit Cayley auf den Einheitskreis komme oder was meinst du genau?

War mein Verständnis der Menge Omega1 denn richtig? Weil dann müsste ich ja irgendwie schauen das ich vllt eine MT finde die durch Drehstreckung dieses Viertel der oberen Halbebene auf die ganze obere Halbebene streckt oder nicht?

@HAL 9000 Danke, das war natürlich nen Tippfehler!

14.05.2017, 19:55

Elvis

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a) $\begin{eqnarray*} z\mapsto z^4 \end{eqnarray*}$ ? dann Cayley
b) $\begin{eqnarray*} z\mapsto z^2 \end{eqnarray*}$ ?

ohne Gewähr

14.05.2017, 20:02

JennyB.

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Einen ähnlichen Gedanken habe ich auch verfolgt.
Jedoch dachte ich an a) $\begin{eqnarray*} z\mapsto 4z \end{eqnarray*}$ und b) $\begin{eqnarray*} z\mapsto 2z \end{eqnarray*}$
Da laut Skript und Wiki ja Drehstreckungen durch die multiplikation mit $\begin{eqnarray*} a = |a | e^{i\alpha } \end{eqnarray*}$ gemacht werden und $\begin{eqnarray*} a=4, \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ sind da ich ja nur aufs 4fache strecken will und nichts drehen, oder sehe ich das falsch?

14.05.2017, 22:21

Elvis

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$\begin{eqnarray*} z\mapsto 4z \end{eqnarray*}$ geht nicht, denn dabei bleibt der Winkel zu klein. Genauso bei der anderen Abbildung.

15.05.2017, 11:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elvis
b) $\begin{eqnarray*} z\mapsto z^2 \end{eqnarray*}$ ?

Hmm, biholomorph heißt ja insbesondere auch bijektiv. Wenn ich das richtig sehe, ist diese angegebene Abbildung für den Wertebereich $\begin{align*} B_1(0,1) \end{align*}$ aber nicht surjektiv, oder? verwirrt

15.05.2017, 12:43

Elvis

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Ja, die negative reelle Achse fehlt, das macht mir auch ein wenig Sorgen (deshalb "ohne Gewähr"). Was meint JennyB. dazu?

15.05.2017, 13:01

IfindU

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Kleine Bemerkung: Wikipedia.

Dort steht auch, dass die Abbildung im gewissen Sinne eindeutig ist -- mit Raten ohne extrem viel Intuition wird das also nichts. Wikipedia gibt auch einen einfachen, konstruktiven Beweis -- der allerdings glatten Rand und Beschränktheit fordert.

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