Konvergenz und Grenzwerte von Folgen

14.05.2017, 21:11

Ente123

Konvergenz und Grenzwerte von Folgen

Hallo, es geht um diese Aufgabenstellung: konvergieren die Reihen und berechne gegebenenfalls den Grenzwert.
1.) sin(n*pi + 1/n)
2.) n-te Wurzel aus (2*n + 3^(n) * n)

bei der Aufgabe 1 habe ich mit Hilfe der Additionstheoreme die Reihe "auseinandergezogen".
Also: sin(n*pi)*cos(1/n)+sin(1/n)*cos(n*pi). n läuft gegen unendlich, das war in der Aufgabenstellung angegeben. Habe es gegen unendlich laufen lassen und sin(n*pi) als Ergebnis rausbekommen. Also konvergiert diese Reihe nicht, da es keinen "genauen" Grenzwert gibt.
Bin ich hier richtig vorangegangenen, oder ist das komplett falsch?

Bei Aufgabe 2 komme ich leider nicht mal auf einen Ansatz unglücklich

14.05.2017, 21:16

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ente123
Habe es gegen unendlich laufen lassen und sin(n*pi) als Ergebnis rausbekommen. Also konvergiert diese Reihe nicht, da es keinen "genauen" Grenzwert gibt.

Mit der Kenntnis der Sinusfunktion sieht es aber verdammt schlecht aus bei dir: Es ist $\begin{align*} \sin(n\pi)=0 \end{align*}$ für alle ganzen Zahlen $\begin{align*} n \end{align*}$ . unglücklich

Zu 2) Einschachteln $\begin{align*} 3^n < 2^n + 3^n\cdot n \leq 3^n + 3^n\cdot n \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ . Und dann über $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n+1} \end{align*}$ nachdenken.

14.05.2017, 21:21

Ente123

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, also ist der Grenzwert 0 und die Reihe konvergiert, oder? Bezogen auf Aufgabe 1.

Danke für den Tipp, ich probiere es mal smile

14.05.2017, 21:32

Ente123

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt im Internet gelesen und in einigen YouTube Videos, dass sin(n*pi) gegen 1 laufen müsste... so müsste doch mein Grenzwert für diese Aufgabe 1 sein, oder? ._.

14.05.2017, 22:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ente123
Ich habe jetzt im Internet gelesen und in einigen YouTube Videos, dass sin(n*pi) gegen 1 laufen müsste...

Vermutlich basierend auf der AF-Theorie. ROFL

Überprüfe mal deine Quellen, bevor du solchen Müll glaubst.

14.05.2017, 22:35

Ente123

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid, war gerade verwirrt und habe die Aufgabe wechselt. Trotzdem danke

15.05.2017, 10:19

Ente123

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 2) stimmt mein Weg so?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{3^{n}((\frac{2}{3})^n+n) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } \sqrt[n]{3^{n}n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty }3 \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ --> 3

15.05.2017, 12:58

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fehlt da ein wenig die Begründung, warum man den Term $\begin{align*} \left(\frac{2}{3}\right)^n \end{align*}$ dort so einfach weglassen darf. Seriöserweise kann das durch Zerlegung

$\begin{align*} \sqrt[n]{3^nn\left(\frac{1}{n}\left(\frac{2}{3}\right)^n+1\right)} = \sqrt[n]{3^nn} \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{n}\left(\frac{2}{3}\right)^n+1} \end{align*}$

geschehen, mit anschließender Nutzung von $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \left( \frac{1}{n}\left(\frac{2}{3}\right)^n+1 \right) = 1 \end{align*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz und Grenzwerte von Folgen

Verwandte Themen