Bilinearform und darstellende Matrix zeigen

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14.05.2017, 21:49	PhysX	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearform und darstellende Matrix zeigen Ich habe folgende Aufgabe [attach]44453[/attach] Ich habe vorerst gezeigt, dass s eine Bilinarform ist, indem ich die Eigenschaft durchgegangen bin: (1) links additiv (2) rechts additiv (3) links homogen (4) rechts homogen für phi a und für psi b (1) $\begin{eqnarray} s(a(v)+a'(v), b(w)) = s(a(v), b(w)) + s(a'(v), b(w)) \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} s(a(v), b(w)+b'(w)) = s(a(v), b(w)) + s(a(v), b'(w)) \end{eqnarray}$ (3) $\begin{eqnarray} s(\lambda a(v), b(w))=\lambda s(a(v), b(w)) \end{eqnarray}$ (4) $\begin{eqnarray} s(a(v), b(w)\lambda)=s(a(v), b(w))\lambda \end{eqnarray*}$ Ist das überhaupt so richtig? Wenn ja wie kann ich für diese Aufgabe dann die darstellende Matrix bestimmen? mfg PhysX
14.05.2017, 22:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist kein Beweis, du musst die Eigenschaften des Skalarprodukt benutzen, um zu beweisen, dass eine Bilinearform vorliegt. Wie die zugehörige Darstellungsmatrix aussieht, steht sicher in deinem Vorlesungsskript.
16.05.2017, 13:33	PhysX	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mich mal umgeguckt: Wäre dies ein Beweis http://www.mathepedia.de/Bilinearformen.aspx ? Dann könnte ich wenigstens daran orientieren..
16.05.2017, 18:06	PhysX	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich hab den Beweis jetzt hinbekommen! (nicht der der im Link ist) Nur weiß ich immer noch nicht wie ich die darstellende Matrix bestimmen kann
16.05.2017, 18:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich zeige dir, wie man (1) beweist, dann kannst du den Rest machen Für alle $\begin{eqnarray} v_1,v_2,w\in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} s(v_1+v_2,w)=\varphi(v_1+v_2)\cdot \psi(w)=<a,v_1+v_2>\cdot <b,w>=(<a,v_1>+<a,v_2>)\cdot <b,w>=(\varphi(v_1)+\varphi(v_2))\cdot \psi(w)=\varphi(v_1)\cdot \psi(w)+\varphi(v_2)\cdot \psi(w)=s(v_1,w)+s(v_2,w) \end{eqnarray}$ Begründung: Definition von s / Definition von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ / Additivität von <,> / Definition von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ / Distributivgesetz in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ / Definition von s
16.05.2017, 19:50	PhysX	Auf diesen Beitrag antworten »
(2) = $\begin{eqnarray} s(v,w_1+w_2)=\varphi(v)\cdot \psi(w_1+w_2)=<a,v>\cdot <b,w_1+w_2>=<a,v>\cdot (<b,w_1>+<b,w_2>)=\varphi(v)\cdot (\psi(w_1)+\psi(w_2))=\varphi(v)\cdot \psi(w_1)+\varphi(v)\cdot \psi(w_2)=s(v,w_1)+s(v,w_2) \end{eqnarray}$ (3) $\begin{eqnarray} s(\lambda v,w)= s(\lambda \varphi(v),\psi(w)) = <\lambda a,v> <b,w>= (\lambda * \varphi(v)) * \psi(w) = \lambda * \varphi(v) * \psi(w)= \lambda s(\varphi(v),\psi(w)) \end{eqnarray*}$ Von der 3 Vermute ich, dass sie falsch ist ..
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16.05.2017, 20:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Vermutung kann ich gerne bestätigen. Nahezu keines der Gleichheitszeichen kann begründet werden, und die ganze Kette beweist nicht die Behauptung.
16.05.2017, 20:11	PhysX	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs vermutet.. Das ist leider nicht meine stärke.. Ich habe schon im Internet und Büchern geguckt, aber bis hier warst du bisher der einzige der mir geholfen hat, besonders die Additivität zu zeigen, aber bei der Homogenität haperts. Ich bin eigentlich auch nicht die Person die gerne Abschreibt, daher mache ich die Übungsblätter alleine. Aber diese Aufgabe auch wenn sie evt. gar nicht so schwer ist bereitet mir irgendwie Schwierigkeiten.
17.05.2017, 11:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Aufgabe ist kinderleicht, und du kannst das, wenn du nur willst. Die Homogenität von s zeigt man genau so wie die Additivität von s, anstelle des Distributivgesetz in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ wird das Assoziativgesetz in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ gebraucht. Lösungen für derart einfache Übungen kann man nicht finden, weder in Büchern noch sonstwo. Im Internet rechnet dir auch niemand vor, was 3 mal 4 ist.

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