Vollständige Induktion. Wo ist der Fehler?

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matti123 Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion. Wo ist der Fehler?
Hi!

Da ich aktuell etwas Zeit habe, habe ich mir schon einmal zukünftige Aufgaben unserer Vorlesung angeschaut. Da ich mit der vollst. Induktion ganz gut vertraut bin aus dem LK, dachte ich, dass mir das keine Probleme bereitet. Tut es bei folgender Aufgabe aber doch irgendwie:

Gegeben sei ein Vorlesungssaal mit Personen. Falls (mindestens) eine dieser Personen eine Blondine ist, so sind bereits alle Personen Blondinen.
Die Begründung für dieses Resultat: Die Aussage gilt offensichtlich für . Angenommen, sie sei für wahr. Man betrachte nun einen Vorlesungssaal mit Personen, unter denen sich eine Blondine befindet. Die Personen werden ohne Einschränkung als bezeichnet; hierbei sei eine Blondine. Man teilt nun alle Personen in zwei Gruppen ein. Die erste Gruppe bestehe aus den Personen und die zweite Gruppe aus und . Nach Voraussetzung sind sowohl alle Personen der ersten Gruppe als auch die beiden Personen der zweiten Gruppe Blondinen, also sind alle Personen im Saal Blondinen. Finden Sie den Fehler in der Begründung (falls es einen Fehler gibt).

Ich habe den "Typ" von Induktionsaufgabe zwar auch woanders gefunden und ich denke ich verstehe das Problem. Dieses liegt bei dem Induktionsschritt von zu . Hier bilden wir die Mengen und , wobei eine Blondine ist. Meiner Meinung nach ist dann der Fehler in der Argumentation, dass in dem Fall nur über einelementige Mengen eine Aussage gemacht werden kann und somit kein Schluss gezogen werden kann für die Menge .
Was mich "stört": Die Induktionsvoraussetzung in dem "Beweis" lautet, dass die Aussage "für wahr" sei. Wie kann ich dann beim Schritt von zu überhaupt die Induktionsvoraussetzung anwenden, wenn die Aufgabe sie laut Augabe erst ab gelten lässt?

Wo ist mein Fehler in dem Fall? Big Laugh Kann mir jemand helfen?

Danke smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von matti123
Meiner Meinung nach ist dann der Fehler in der Argumentation, dass in dem Fall nur über einelementige Mengen eine Aussage gemacht werden kann und somit kein Schluss gezogen werden kann für die Menge .

So ist es. Freude

Zitat:
Original von matti123
Was mich "stört": Die Induktionsvoraussetzung in dem "Beweis" lautet, dass die Aussage "für wahr" sei. Wie kann ich dann beim Schritt von zu überhaupt die Induktionsvoraussetzung anwenden, wenn die Aufgabe sie laut Augabe erst ab gelten lässt?

Du stellst die richtigen Fragen, und hast damit den Fehler im Beweis gefunden:

Der Induktionsschritt klappt in der gezeigten Form nur für , nicht aber für . Angesichts von Induktionsanfang muss er aber auch für funktionieren, sonst fällt die gesamte Induktion in sich zusammen.

Um im beliebten Bild des Dominoeffekts zu bleiben: Die Steine sind hier so aufgestellt, dass das Umfallen des zweiten Steines den gesamten Aufbau umfallen lassen würde - dummerweisen kippt hier aber der erste Stein (der Startstein) den zweiten nicht um. Augenzwinkern
matti123 Auf diesen Beitrag antworten »

Super! Danke für die schnelle Antwort. Freude
matti123 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Sache noch: Wenn ich die Argumentation so abwandle, dass mindestens zwei Blondinen im Saal sind und den Induktionsanfang für und für zeige, ist die Argumentation dann noch fehlerhaft?
Schließlich funktioniert der Induktionsschritt doch für .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

OK, du willst nun die veränderte Aussage

: "Falls unter Personen mindestens zwei Blondinen sind, dann sind alle Personen Blondinen" beweisen.

Nun gut, dann macht gar keinen Sinn, und ist erfüllt. Allerdings musst du nun deinen Induktionsschritt umkonstruieren, denn so wie oben klappt er ja nun nicht mehr.


P.S.: Man kann die Logik nicht austricksen - mit dieser zweiten Blondine verschiebst du den Knackpunkt nur um einen Indexwert nach oben. smile
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