Anzahl Nullstellen

15.05.2017, 19:37

Kegorus

Anzahl Nullstellen

Hallo Forum!

Ich möchte die Anzahl der Nullstellen des Polynoms

$\begin{eqnarray*} p: \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(z)=z^8-2z^6+7z^5-z^3+2 \end{eqnarray*}$

in der offenen Einheitskreisscheibe $\begin{eqnarray*} \mathbb{D} \end{eqnarray*}$ bestimmen (Vielfachheiten mitgezählt).

Ich habe eine "Lösung" dazu gefunden, die ich noch nicht ganz verstehe:

Für $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |7z^5|>|z^8-2z^6-z^3+2| \end{eqnarray*}$ .
Somit hat $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ so viele Nullstellen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{D} \end{eqnarray*}$ wie $\begin{eqnarray*} 7z^5 \end{eqnarray*}$ also 5.

Man nimmt sich also einen Punkt auf dem Rand von $\begin{eqnarray*} \mathbb{D} \end{eqnarray*}$ und findet einen dort betragsmäßig dominierenden Summand des Polynoms. Aber wieso macht man das und weshalb kann ich dann das gewünschte folgern?

Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte!

15.05.2017, 20:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kegorus
Für $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |7z^5|>|z^8-2z^6-z^3+2| \end{eqnarray*}$ .

Aufgrund dieser Abschätzung hat die Kurve

$\begin{align*} \gamma_r:\; t\to p\left( r\cdot e^{it}\right) \end{align*}$ für $\begin{align*} t\in [0,2\pi) \end{align*}$

im Fall $\begin{align*} r=1 \end{align*}$ dieselbe Windungszahl wie $\begin{align*} t\to 7z^5 \end{align*}$ bezogen auf den Nullpunkt, und das ist 5. Für $\begin{align*} r\to 0 \end{align*}$ zieht sich die Kurve $\begin{align*} \gamma_r \end{align*}$ auf den Punkt $\begin{align*} p(0)=2 \end{align*}$ (mit Windungszahl 0) zusammen...

Hab mal einen Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra gesehen, der ähnlich funktionierte. Hat bestimmt auch einen Namen das ganze, aber so gut kenne ich mich mit Funktionentheorie nicht aus.

15.05.2017, 22:39

URL

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Klingt nach Satz von Rouché

16.05.2017, 10:04

HAL 9000

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Passt genau. Augenzwinkern