Eigenschaften stetiger Funktionen, lipschitz-stetig

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dubbox Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften stetiger Funktionen, lipschitz-stetig
Meine Frage:
Also ich hab das mit der Stetigkeit nicht ganz auf dem Schirm. Ich kann es mir Bildlich vorstellen, aber die Beweise funktionieren nur teilweise. Deswegen hier noch mal Aufgaben bei denen ich nicht weiter komme. Danke schon mal für die Hilfe!

1) Als erstes mal, soll ich prüfen ob Lipschitz-stetig ist.

2) Hier geht es um die Eigenschaften stetiger Funktionen.
a) Sei eine stetige Funktion mit , die für jeden Punkt auf dem Äquator die dort vorherschende Temperatur angibt. Wir bezeichnen mit den Längengrad des entsprechenden Punktes auf dem Äquator. Zeigen Sie, dass es zwei Punkte auf dem Äquator gibt, die sich exakt gegenüberliegen und in denen die gleiche Temperatur herrscht.

b)Welche der folgenden Funktionen bestizen ein Minimum oder ein Maximum (auf den angegebenen Intervallen)?
(i) (abgeschlossenes Intervall)
(ii) (offenes Intervall)


Meine Ideen:
1)

Hab das mit der Lipschitz-stetigkeit nicht ganz verstanden, bzw. eher wie man das nun zeigt.

Ich schaue ob ein existiert, so dass


Sollte ich hier jetzt eine Fallunterscheidung machen oder kann ich das ganze Intervall abschätzen?

Für wäre das ja und erfüllt.
Auch für die Ränder des Intervalls gilt Aber im Prinzip habe ich das Gefühl, egal was ich auf diese Art und weise mache, ich finde immer ein das die Gleichung erfüllt ist... Big Laugh

2)
a)Also ich denke ich kann das formulieren, aber nicht mit den richtigen Sätzten beweisen. Im Prinzip werde ich hier ja wohl den Zwischenwertsatz verwenden oder? Also genauer dass für gilt hier gilt dann ja auch Aber eigentlich hilft mir das auch nicht so wirklich weiter, sollte ich denn überhaupt so definieren? So würde ich ja zumindest den gegenüberliegenden Punkt ausdrücken.

b)
Ich denke hier geht es um den Satz, dass eine stetige Funktion auf einem Kompaktum (also einer abgeschlossenen und beschränkten Menge) nimmt ihr Maximum und Minimun auf dem Kompaktum an. Muss ich hier also zeigen, dass (i) und (ii) stetig sind, sowie beschränkt und abgeschlossen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1) Versuch mal, aus der Differenz den Faktor abzuspalten, dann bekommst du eher eine Vorstellung, wie aussehen kann. (Ich erinnere mal beiläufig daran, dass das dasselbe ist wie hier, nur speziell mit a=2).

Zu 2) Die Betrachtung von (darauf läuft es ja bei dir mehr oder weniger hinaus) ist prinzipiell die richtige Idee. Aber neben solltest du nicht betrachten, sondern mit einem anderen Argument , nämlich...
dubbox Auf diesen Beitrag antworten »

1)

Hier würde ich das so rausziehen,


Jetzt für immer bestimmen, weil allgemein darf ich ja nicht einfach durch den Betrag teilen?

2)
so oder? Nur was genau kann ich dadurch jetzt über mathematisch sagen? Ist dann nicht und so haben alle gegenüberliegenden Punkte die selbe Temperatur?? Oder ist das jetzt unfug Big Laugh Bzw gilt das nur für
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1) Du musst nicht dividieren, sondern nur angesichts des vorgegebenen Wertebereichs betragsmäßig nach oben abschätzen, und diese obere Abschätzung ist dann ein passendes L - genau wie im alten (oben verlinkten) Thread von dir.

Zu 2) Du drehst dich im Kreis, aber kommst partout nicht auf den Punkt: Resümee der Betrachtungen ist , d.h., und sind entweder beide Null (in dem Fall sind wir bereits fertig) oder aber reelle Zahlen verschiedenen (!) Vorzeichens...
dubbox Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, musste echt über diese Temperaturaufgabe etwas nachdenken... Aber ich glaube ich habe es jetzt Big Laugh aber zuerst zu 1)

Ich schätze also Also ist das ganze Lipschitz-stetig. Irgendwie wenn es wirklich so geht, recht simpel verwirrt

zu 2)

Also da und unterscheiden wir in 3 Fälle

1. Fall
und wir wären fertig.

2. Fall
hat eine Nullstelle nach ZWS (Zwischenwertsatz)

3. Fall
hat eine Nullstelle nach ZWS

Somit ist in allen Fällen gezeigt, dass eine Nullstelle für existiert und somit müssen zwei Punkte die genau gegenüber liegen, die selbe Temperatur haben existieren!
dubbox Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt fehlt noch die 2) b)

Zitat:
b) Ich denke hier geht es um den Satz, dass eine stetige Funktion auf einem Kompaktum (also einer abgeschlossenen und beschränkten Menge) nimmt ihr Maximum und Minimun auf dem Kompaktum an. Muss ich hier also zeigen, dass (i) und (ii) stetig sind, sowie beschränkt und abgeschlossen?

Ist das der richtige Denkansatz, bzw. einer der mich weiterbringt? Big Laugh
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Für (i) ist das passend, ja.

Bei (ii) hast du aber gar kein Kompaktum als Definitionsbereich, sondern das offene Intervall . Hier wirst du also deine Begründung variieren müssen.
dubbox Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem bei der ganzen Stetigkeit ist noch das , bei vielen Aufgaben die man so im Internet findet, ist dieses gegeben dann untersucht man eben ob ein Grenzwert existiert und gilt . Wenn das nicht gegeben ist, suche ich es mir dann aus? Bzw. ist es ja wohl ein markanter Punkt, oft die 0.

Ich würde das dann bei (i) so machen.



Somit ist stetig, wenn man sich eben das so eben setzten darf. Frage wäre dann nur muss ich zeigen das das Intervall ein Kompaktum ist? Ist ja offensichtlich beschränkt durch sowie abgeschlossen und es gälte nach dem Satz, das das Minimum und das Maximum in diesem Intervall erreicht werden.
Mein Problem nur mit dem ganzen ist, es gibt hier doch gar kein Maximum, da die Funktion immer weiter wächst?!

zur (ii)

Hier würde ich zeigen, dass weder das Minimum noch das Maximum von in dem Intervall erreicht wird da

mit da Maximum liegt nicht im Intervall.

mit da Minimum liegt nicht im Intervall.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von dubbox
Frage wäre dann nur muss ich zeigen das das Intervall ein Kompaktum ist?

Naja, ich hatte jetzt angenommen, dass ihr nicht jedesmal das Rad neu erfinden müsst: Es ist sicher wichtig einmal zu sehen und zu begründen, dass ein abgeschlossenes beschränktes Intervall reeller Zahlen wie [-1,2] kompakt ist, aber man muss es ja nicht jedesmal wieder neu beweisen, oder?

Zitat:
Original von dubbox
Mein Problem nur mit dem ganzen ist, es gibt hier doch gar kein Maximum, da die Funktion immer weiter wächst?!

Wie bitte? Die Funktion ist nur auf [-1,2] definiert. Was der Term außerhalb dieses Intervalls macht (z.B. für ) ist vollkommen irrelevant.


Bei ii) hast du prinzipiell die richtige Idee, allerdings gibt es einige Unsauberkeiten in der Ausführung bzw. Formulierung:

"Maximum liegt nicht im Intervall" ist rätselhaft wenn dein Ziel doch ist zu zeigen, dass es gar kein Maximum gibt. Richtig wäre "Supremum der Funktionswerte ist 1, aber dieses Supremum ist kein Maximum, weil dieser Funktionswert in (0,1) nicht angenommen wird". Analog dann beim Minimum, mit Verweis auf Infimumwert .
dubbox Auf diesen Beitrag antworten »

Upps, das stimmt sehr wohl. Betrachte das ja strikt im Intervall Hammer

Den Begriff mit Infinum und Supremum hatte ich vergessen, das war ja genau dieser Fall.

Wieder einmal vielen vielen Dank für deine Hilfe. Echt Klasse das du mir immer wieder so gut weiter hilfst, das macht das Studium viel angenehmer, so versteht man wenigstens alles wirklich Tanzen
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