Eigenvektoren und Eigenwerte von Matrizen.

16.05.2017, 13:08	retard	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektoren und Eigenwerte von Matrizen. Meine Frage: Hi liebe Gemeinde, habe einige Fragen.... 1. Wie zeige ich, dass bei einer schiefsymmetrischen Matrix die Eigenwerte 0 oder rein imaginär sind? Ich weis dass die Diagonalelemente 0 sind, aber inwiefern zeige ich das ganze? 2. Ein Eigenvektor einer Drehmatrix ist immer die Achse, um die gedreht wird. Wieso ist das so? 3. Ein Eigenvektor einer Spiegelmatrix, bezüglich einer Ebene an der gespiegelt werden soll, ist immer der Normalenvektor der Ebene? Ich bin mir nicht sicher wieso das so ist... 4. Das sprengt vielleicht den Rahmen ein wenig, aber woran erkenne ich an einer Basiswechselmatrix welchen Basiswechsel sie beschreibt? ALso von der alten in die neue oder genau umgekehrt... Mfg retard... Und Danke im voraus! Meine Ideen: Habe meine Ideen schon in der Frage implementiert.
17.05.2017, 17:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. weiß ich jetzt auch nicht, ist zu heiß heute 2. Die Drehachse bleibt Punktweise fest. Für einen Punkt $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ der Achse ist also $\begin{eqnarray} D(\vec {OP})=\vec {OP} \end{eqnarray}$ , also sogar ein Eigenvektor zum Eigenwert 1. 3. $\begin{eqnarray} S(\vec n)=-\vec n \end{eqnarray}$ 4. $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ wechselt von einer zur anderen Basis, und $\begin{eqnarray} B^{-1} \end{eqnarray}$ in der anderen Richtung. Man erkennt nichts, man muss die Formeln und Gleichungen kennen.
17.05.2017, 18:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1): Sei $\begin{eqnarray} \langle \cdot, \cdot \rangle \end{eqnarray}$ das komplexe Skalarprodukt, d.h. $\begin{eqnarray} \langle v,w \rangle = v \cdot \overline w \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \overline w \end{eqnarray}$ das komplex-konjugierte zu $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ ist und $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ das klassische Skalarprodukt. Dann sei $\begin{eqnarray} v \in \mathbb C^n \end{eqnarray}$ ein Eigenvektor zu $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb C \end{eqnarray}$ . Die wichtige Beobachtung ist, dass $\begin{eqnarray} \lambda \|v\|^2 = \langle Av, v\rangle \end{eqnarray}$ . Danach sind es nur Eigenschaften vom Skalarprodukt und die Schiefsymmetrie von A. Uebrigens ist $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ oder reinimaginaer kompliziert ausgedruectk, dass der Realteil von $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ verschwindet.

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