Gleichmäßige Stetigkeit beweisen (x^2)/(x+1)

16.05.2017, 15:19

MethPony

Gleichmäßige Stetigkeit beweisen (x^2)/(x+1)

Meine Frage:
Hi,
ich komm generell nicht mit dem Beweis für die gleichmäßige Stetigkeit gut zurecht und jetzt soll ich beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{x^{2}}{x+1} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig ist auf dem Intervall [0; $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ). Die Umformerei mit den Bedingungen für die gleichmäßige Stetigkeit bekomme ich zwar immer hin, aber ich komme nie darauf, welche Ungleichung oder welches $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ich wählen muss, damit ich es vollständig auflösen kann.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} |x-y| < \delta |x-(x+\delta)|<\delta |f(x)-f(y)| < \epsilon |\frac{x^{2}}{x+1}-\frac{(x+\delta)^{2}}{x+\delta+1}|<\epsilon \end{eqnarray*}$

16.05.2017, 15:57

HAL 9000

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Rechne einfach mal $\begin{align*} f(x)-f(y) = \frac{x^2}{x+1}-\frac{y^2}{y+1} = x-1+\frac{1}{x+1} - \left( y-1+\frac{1}{y+1} \right) = (x-y)\cdot \left(1 - \frac{1}{(x+1)(y+1)} \right) \end{align*}$ . Der Klammerausdruck ganz rechts ist betragsmäßig nach oben beschränkt durch eine passend gewählte Konstante $\begin{align*} L>0 \end{align*}$ , somit ist $\begin{align*} f \end{align*}$ Lipschitzstetig, was stärker ist als gleichmäßige Stetigkeit (man kann zu gegebenen $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ dann $\begin{align*} \delta:=\frac{1}{L}\varepsilon \end{align*}$ wählen).

16.05.2017, 17:53

MethPony

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Danke für die schnelle Antwort, Lipschitz-Stetigkeit kenne ich zwar, haben wir aber in der Vorlesung soweit ich weis noch nicht gemacht/bewiesen, ich glaube nicht, dass ich das verwenden darf, gibt es noch eine andere Möglichkeit?

16.05.2017, 18:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von MethPony
ich glaube nicht, dass ich das verwenden darf, gibt es noch eine andere Möglichkeit?

Typisch, "Lipschitz" lesen und auf Blockademodus schalten - ohne zu realisieren, dass ich am Ende in der Klammer genau diese Brücke gebaut habe. Na wer nicht will, der hat schon. Finger2

16.05.2017, 18:35

MethPony

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Sorry falls ich n bisschen ignorant wirke, dann schau ich nochmal drüber, ich bin grad a weng am Jonglieren, da es jemand mal wieder geschafft hat seine Arbeit auf mich umzuladen und da ist die Abgabefrist wesentlich näher. Nochmal sorry, dass ich nicht richtig aufgepasst hab und danke nochmal für die Hilfe.

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