Poisson-Verteilung, Zähldichte und Binomialverteilung

16.05.2017, 21:58

Kurzstrumpf

Poisson-Verteilung, Zähldichte und Binomialverteilung

Meine Frage:
Hallihallo,

ich sitze gerade vor einer Aufgabe, von der ich nach langem Hin- und Herüberlegen leider wirklich noch immer nicht weiß, wie ich sie anpacken soll.

Die zufällige Anzahl N der falsch einsortierten Bücher in einer Bibliothek sei (näherungsweise)
Poisson-verteilt mit Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ . Bei einer Revision werden diese Bücher unabhängig voneinander (und unabhängig von N) mit einer Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \in (0,1) \end{eqnarray*}$ entdeckt und richtig einsortiert. Wie ist die zufällige Anzahl der nach der Revision immer noch falsch eingestellten Bücher verteilt?

Hinweis: Begründen Sie zunächst, warum, bedingt gegeben dass N = n gilt, die Anzahl K der nach der Revision noch falsch einsortierten Bücher gerade $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}_{(n, 1-p)} \end{eqnarray*}$ -verteilt ist, d.h. $\begin{eqnarray*} P(K=k) \mid N=n) = \mathcal{B}_{n, 1-p} \{k\} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0 \leq k \leq n \end{eqnarray*}$ . Berechnen Sie dann die Zähldichte der gesuchten Verteilung, also $\begin{eqnarray*} P\{K=k\} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ , mit Hilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit und unter Verwendung der Exponentialreihe.

Meine Ideen:
Kann mir hier irgendjemand weiterhelfen? Ich wäre sehr glücklich über einen Schubs in die richtige Richtung. Gott

16.05.2017, 22:06

HAL 9000

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Der gegebene Hinweis ist eine detaillierte Handlungsanleitung - weit mehr als ein Schubs, den ich hier als Start gegeben hätte. Nimm dir Zeit und durchdenke den Hinweis gründlich, und stelle dann etwas zielgerichtetere Fragen.

17.05.2017, 10:02

Kurzstrumpf

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Okay, dann versuche ich zusammenzufassen, was ich verstanden habe:

Wir haben eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ und diese ist poisson-verteilt und irgendwie auch binomialverteilt, da die Poisson-Verteilung ja unter bestimmten Voraussetzungen eine Grenzverteilung der Binomialverteilung ist. Wir wissen. dass $\begin{eqnarray*} P(X = 0) \end{eqnarray*}$ definiert ist als "Das Buch ist falsch einsortiert worden" und $\begin{eqnarray*} P(X=1) \end{eqnarray*}$ als "Das Buch ist richtig einsortiert worden". Demnach ergibt sich aus der Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i = 1} ^N X_i \end{eqnarray*}$ die Anzahl der richtig einsortierten Bücher. Berechnen soll ich jedoch $\begin{eqnarray*} N-X \end{eqnarray*}$ ? unglücklich

17.05.2017, 11:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kurzstrumpf
da die Poisson-Verteilung ja unter bestimmten Voraussetzungen eine Grenzverteilung der Binomialverteilung ist.

Das ist zwar richtig, aber dies ist hier nicht gemeint. Kommen wir mal zu den einzelnen Zufallsgrößen, die hier eine Rolle spielen:

$\begin{align*} N \end{align*}$ ... Anzahl der falsch einsortierten Bücher vor der Revision

$\begin{align*} K \end{align*}$ ... Anzahl der falsch einsortierten Bücher nach der Revision

Das sind alle Zufallsgrößen, die hier relevant sind - kein $\begin{align*} X_i \end{align*}$ oder sonstwas, mit dem du da operierst ohne es zu erklären.

Zitat:

Original von Kurzstrumpf
Wie ist die zufällige Anzahl der nach der Revision immer noch falsch eingestellten Bücher verteilt?

Übersetzt heißt das: Berechne die Wahrscheinlichkeiten $\begin{align*} P(K=k) \end{align*}$ für $\begin{align*} k=0,1,2,\ldots \end{align*}$ .

Wie hängen nun $\begin{align*} N \end{align*}$ und $\begin{align*} K \end{align*}$ zusammen? Banal ist zunächst $\begin{align*} K\leq N \end{align*}$ , denn die Zahl der falsch einsortierten Bücher nimmt ja durch die Revision allenfalls ab, aber nicht zu.

Um zur Verteilung von $\begin{align*} K \end{align*}$ bei gegebener Verteilung von $\begin{align*} N \end{align*}$ (im vorliegenden Fall wäre letzteres diese gegebene Poissonverteilung, aber das ist zunächst nicht wichtig) zu gelangen, betrachten wir das Problem erstmal eingeschränkt auf das Ereignis $\begin{align*} A_n = [N=n] \end{align*}$ , d.h., die Situation, dass wir zu Beginn genau $\begin{align*} n \end{align*}$ falsch einsortierte Bücher haben, mit einer festen (nichtzufälligen) Zahl $\begin{align*} n \end{align*}$ . Jedes einzelne der Bücher wird mit Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} p \end{align*}$ entdeckt, und dann richtig einsortiert. Das bedeutet aber auch, dass es mit Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} (1-p) \end{align*}$ nicht entdeckt wird und somit falsch einsortiert bleibt. Das ist die Situation eines Bernoulli-Experiments, wobei wir hier aber als "Erfolg" die Nicht(!)-Entdeckung eines Buches auffassen, wir haben hier also Erfolgswahrscheinlichkeit $\begin{align*} (1-p) \end{align*}$ (statt wie sonst meist $\begin{align*} p \end{align*}$ ). Somit ist die Verteilung von $\begin{align*} K \end{align*}$ die Binomialverteilung $\begin{align*} B(n,1-p) \end{align*}$ , aber es sei nochmal betont, nur unter dieser Einschränkung (Bedingung) $\begin{align*} A_n \end{align*}$ . In Formeln bedeutet dies

$\begin{align*} P(K=k \mid A_n) = P(K=k \mid N=n) = \binom{n}{k} (1-p)^k p^{n-k} \end{align*}$ für $\begin{align*} 0\leq k\leq n\qquad (1) \end{align*}$ .

Um nun von diesen bedingten Wahrscheinlichkeiten $\begin{align*} P(K=k \mid N=n) \end{align*}$ zu den absoluten Wahrscheinlichkeiten $\begin{align*} P(K=k) \end{align*}$ zu gelangen, benutzen wir die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit. Die hast du vermutlich so kennengelernt: Es ist $\begin{align*} P(B) = \sum_n P(B \mid A_n)\cdot P(A_n) \end{align*}$ für ein beliebiges Ereignis $\begin{align*} B \end{align*}$ sowie eine Zerlegung $\begin{align*} (A_n)_n \end{align*}$ des Wahrscheinlichkeitsraumes $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ . "Zerlegung" heißt dabei paarweise Disjunktheit der $\begin{align*} A_n \end{align*}$ , und dass deren Vereinigung gleich $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ ist. Genau das erfüllen unsere $\begin{align*} A_n \end{align*}$ hier, als $\begin{align*} B \end{align*}$ wählen wir $\begin{align*} B=[K=k] \end{align*}$ , also das Ereignis, dass $\begin{align*} K \end{align*}$ den Wert $\begin{align*} k \end{align*}$ annimmt. Dies eingesetzt in die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit bekommt man

$\begin{align*} P(K=k) = \sum_n P(K=k \mid N=n)\cdot P(N=n)\qquad (2) \end{align*}$ .

Zu klären ist noch, über welche $\begin{align*} n \end{align*}$ da zu summieren ist: Wie oben schon festgestellt ist $\begin{align*} K\leq N \end{align*}$ , also macht in dieser Summation auch nur $\begin{align*} n\geq k \end{align*}$ Sinn (bzw. es ist eben $\begin{align*} P(K=k \mid N=n) = 0 \end{align*}$ für $\begin{align*} n<k \end{align*}$ ). Um jetzt mit (2) rechnen zu können brauchen wir neben (1) schließlich noch die Ausgangsverteilung von $\begin{align*} N \end{align*}$ , und die war ja als Poissonverteilung mit Parameter $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ angegeben, in Formeln $\begin{align*} P(N=n) = \frac{\lambda^n}{n!}\cdot e^{-\lambda} \end{align*}$ . Alles eingesetzt ergibt sich

$\begin{align*} P(K=k) = \sum_{n=k}^{\infty} \binom{n}{k} (1-p)^k p^{n-k}\cdot \frac{\lambda^n}{n!}\cdot e^{-\lambda} \end{align*}$ ,

und dies ist jetzt noch zu vereinfachen - zu diesem Zweck gab es im Hinweis das Stichwort "Exponentialreihe".

17.05.2017, 18:30

Kurzstrumpf

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Die Sache ist, ich würde versuchen die Binomialverteilung in Richtung Exponentialreihe umzuformen

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (1-p)^k p^{n-k} = \sum\limits_{k=0}^n \frac{n!}{k!(n-k)!} (1-p)^k p^{n-k}=n! \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{(1-p)^k}{k!}\cdot \frac{p^{n-k}}{(n-k)!} \end{eqnarray*}$ , dann hätte ich mit den beiden Faktoren wieder die Exponentialreihe... nur habe ich es dann dadurch ja nicht wirklich vereinfacht? Hammer

17.05.2017, 18:45

HAL 9000

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Kurze Frage: Du versuchst die Wahrscheinlichkeitssumme $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (1-p)^k p^{n-k} \end{eqnarray*}$ der Binomialverteilung, für die man auch kurz 1 schreiben könnte, irgendwie umzuformen. Welche Absicht steht dahinter, welchen Sinn hat diese Aktion?

17.05.2017, 20:48

Kurzstrumpf

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Oh Gott, ja richtig! Eigentlich ist das vollkommen logisch. Das heißt, am Ende bleibt dann nur $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k=0}^n \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$ über?

17.05.2017, 20:52

Kurzstrumpf

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Also damit meine ich, das Ganze konvergiert dann gegen e? Bis auf $\begin{eqnarray*} e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$ . Dann bleibt $\begin{eqnarray*} e\cdot e^{-\lambda}=e^{-lambda+1} \end{eqnarray*}$ .

17.05.2017, 20:57

HAL 9000

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Ich weiß nicht, wovon du redest. Anscheinend nimmst du keinerlei Bezug zu meinem Beitrag und versuchst irgendwas anderes. Na dann viel Glück auf diesem Weg, und auf Wiedersehen. Wink

17.05.2017, 21:52

Kurzstrumpf

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Ich versuche doch wirklich es zu verstehen und die richtige Richtung zu finden, in die ich gehen muss. Ich wollte doch gerade nur mit Hilfe der Exponentialreihe umformen. traurig

Und wir hatten doch gesagt, dass die Binomialverteilung auch einfach als 1 geschrieben werden kann? Das bedeutet dann doch, dass ich nur noch weiter $\begin{eqnarray*} \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$ vereinfachen muss? Vielleicht habe ich Dich auch einfach falsch verstanden...

17.05.2017, 22:29

HAL 9000

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Ich habe mit einer exzessiven Ausführlichkeit den Hinweis erläutert, und das ganze bis hin zur Berechnungsformel

$\begin{align*} P(K=k) = \sum_{n=k}^{\infty} \binom{n}{k} (1-p)^k p^{n-k}\cdot \frac{\lambda^n}{n!}\cdot e^{-\lambda}\qquad (*) \end{align*}$

ausgebreitet - diese ist nur noch zu vereinfachen. Es ist leider mit keiner Silbe zu erkennen, dass du irgendwas davon mitgekriegt hast: Du redest über irgendwelche anderen Summen, die allenfalls Termbruchstücke von (*) enthalten und wo zudem über $\begin{align*} k \end{align*}$ statt $\begin{align*} n \end{align*}$ summiert wird - was soll das??? Erstaunt1

Auf mich wirkt das so, als hast du meinen Beitrag oben vollkommen ignoriert. Deswegen weiß ich nicht, was ich davon halten soll.

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