Sinus Cosinus

16.05.2017, 22:09

tzu99balon

Sinus Cosinus

Meine Frage:
Hallo, habe eine komische Frage vor mir liegen:

$\begin{eqnarray*} x \in [0,2\pi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin2x=sin^2 x \end{eqnarray*}$

wieviele x Werte erfüllen diese Gleichung ?

Meine Ideen:
steht aufm Schlauch ... muss man die Gleichung umformen oder einfach auswendig wissen ?

16.05.2017, 22:13

Leopold

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Es gibt mehrere Möglichkeiten. Eine geht über die Formel für das doppelte Argument:

$\begin{align*} \sin(2x) = 2 \sin x \ \cos x \end{align*}$

Wenn du diese in der vorliegenden Gleichung anwendest, alles auf eine Seite bringst und $\begin{align*} \sin x \end{align*}$ ausklammerst, bekommst du ein Nullprodukt.

16.05.2017, 22:44

fragesteller-1

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Danke für die Hilfestellung erstmal ...

darauf kam ich auch, aber alles auf eine Seite zu bringen fiel mir ehrlich gesagt nicht ein. Trotzdem bin ich wieder bei einer Sackgasse gelandet:

$\begin{eqnarray*} sin2x=(sinx)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2sinxcosx=(sinx)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=(sinx)^2-2sinxcosx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=(sinx)[sinx-2cosx] \end{eqnarray*}$

Bis hier her ist alles schön und gut und ich sehe sofot, dass für $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ die Gleichung stimmt. Es sollen aber angeblich 4 Werte sein. Die restliche müsste man anhand des Faktors $\begin{eqnarray*} sinx-2cosx \end{eqnarray*}$ finden können, doch wie bekomme ich die Werte ? Das ist mir so auf Anhieb nicht ersichtlich.

16.05.2017, 22:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von fragesteller-1
Die restliche müsste man anhand des Faktors $\begin{eqnarray*} sinx-2cosx \end{eqnarray*}$ finden können

Richtig.

Tipp: Es gibt auch noch $\begin{align*} \tan(x) =\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{align*}$ .

16.05.2017, 23:03

fragesteller-2

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klar doch stimmt, vielen lieben Dank.

$\begin{eqnarray*} sinx-2cosx=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2cosx=-sinx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2=sinx/cosx=tanx \end{eqnarray*}$

hierbei habe ich 2 Winkel zur Erfüllung von $\begin{eqnarray*} tanx=2 \end{eqnarray*}$ , die ich ja nicht explizit berechnen muss. Nämlich einen bestimmten Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und noch $\begin{eqnarray*} 180° + \alpha < 2\pi \end{eqnarray*}$

Stimmt die Argumentation ?

Somit wären es genau 4 Werte, die die Gleichung erfüllen.

16.05.2017, 23:05

HAL 9000

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Richtig, $\begin{align*} \arctan(2) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \arctan(2)+\pi \end{align*}$ sind die beiden restlichen Lösungen im genannten Intervall.

16.05.2017, 23:23

fragesteller-3

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Vielen lieben Dank an euch beide

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