Stochastische Aufgabe zur Verteilung von Blutgruppen

17.05.2017, 16:37

noAhnung

Stochastische Aufgabe zur Verteilung von Blutgruppen

Meine Frage:
Hallo,

ich war leider aufgrund von Krankheit für einige Zeit nicht in der Lage meine Stochastik-Vorlesungen zu besuchen und versuche nun gerade nachzuvollziehen, was wir dort getan haben. Leider bringen mir die Vorlesungsfolien nicht besonders viel Aufschluss darüber, wie ich z.B. hier vorgehen sollte:

Für eine zufällig ausgewählte Person beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sie die Blutgruppe AB mit negativem Rhesusfaktor (AB-) besitzt, ca. 1%.

(a) Es werden nun 50 Personen zufällig (und unabhängig voneinander) ausgewählt. Geben Sie einen exakten und einen approximativen Wert für die Wahrscheinlichkeit an, dass sich unter diesen 50 Personen mindestens zwei mit Blutgruppe AB- befinden. Verwenden Sie dabei für die Approximation den Poisson'schen Grenzwertsatz.

(b) Wie viele Personen müssen mindestens ausgewählt werden, damit sich unter ihnen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,2 mindestens zwei Personen mit Blutgruppe AB- befinden? (Sie können zur Bestimmung eine geeignete Approximation benutzen.)

Meine Ideen:
Für (a) dachte ich bezüglich des approximativen Wertes an den Poisson'schen Grenzwertsatz und so könnte ich also einfach $\begin{eqnarray*} P(X \geq 2) = 1- P(X \leq 1)= 1 - (\mathcal{P}_{50, 0.01} \{0\} + \mathcal{P}_{50, 0.01} \{1\}) = 1- (e^{-50 \cdot 0.01} \frac{(50 \cdot 0.01)^{0}}{0!} + e^{-50 \cdot 0.01} \frac{(50 \cdot 0.01)^{1}}{1!}) \approx 1 - 0.9098 \approx 0.0902 \end{eqnarray*}$
Kann das denn irgendwie hinkommen? Und wie genau soll ich jetzt die exakte Wahrscheinlichkeit berechnen? Über die Binomialverteilung?

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 2) = 1 - P(X \leq 1) \approx 1 - (0.3056 + 0.6050) \approx 0.0894 \end{eqnarray*}$ . Kann das sein?

Und wie genau muss ich bei (b) vorgehen? Einfach eine der Formeln nach n umstellen? Hammer

Ich wäre sehr dankbar für jegliche Hilfe!

Und für den

17.05.2017, 18:42

HAL 9000

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Ja, a) ist rundum und vollständig gelungen. Freude

Bei b) ist es richtig, mit zunächst variablen $\begin{align*} n \end{align*}$ eine entsprechend Ungleichung aufzustellen. Explizit umstellen/auflösen nach $\begin{align*} n \end{align*}$ wird dir vermutlich nicht gelingen, ist mit gewöhnlichen Mitteln (wenn man LambertW nicht dazu zählt) auch gar nicht möglich. Da wirst du dich approximativ ranpirschen müssen.

P.S. Die Normalverteilung als ebenfalls oft übliche Approximation der eigentlich hier vorliegenden Normalverteilung ist hier nicht sonderlich gut, weil wir uns eher am Verteilungsrand bewegen (ca. 2 Erfolge bei einem $\begin{align*} n \end{align*}$ , das sicher noch ein ganzes Stückchen größer als 50 ist) - gerade dort ist ja die Poissonverteilung die passendere Näherung. Aber die bringt hier auch keine Vorteile gegenüber der Binomialverteilung, mit beiden ist die zu lösende (Un-)Gleichung bzgl. $\begin{align*} n \end{align*}$ nichtlinear.

17.05.2017, 22:10

noAhnung

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Okay, ein Versuch. Ich bestimme also $\begin{eqnarray*} P(X \geq 2) \geq 0.2 \end{eqnarray*}$ . Außerdem ist nach wie vor $\begin{eqnarray*} p = 0.01 \end{eqnarray*}$ .
Also wäre meine Idee:
$\begin{eqnarray*} 1 - (1 - 0.01)^n \geq 0.2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 0.9^n \leq 0.8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n \cdot log( 0.9) \leq log( 0.2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n \geq \frac{log (0.2)}{log (0.9)} \approx 15 \end{eqnarray*}$

Also müssen mindestens 15 Menschen ausgewählt werden, damit zwei von ihnen AB- haben? verwirrt

17.05.2017, 22:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von noAhnung
Also wäre meine Idee:
$\begin{eqnarray*} 1 - (1 - 0.01)^n \geq 0.2 \end{eqnarray*}$

Das entspricht aber nicht $\begin{eqnarray*} P(X \geq 2) \geq 0.2 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} P(X \geq 1) \geq 0.2 \end{eqnarray*}$ . Oben (bei dem festen n=50) warst du gedanklich schon mal weiter, das ist jetzt ein Rückschritt.

Zitat:

Original von HAL 9000
ist mit gewöhnlichen Mitteln (wenn man LambertW nicht dazu zählt) auch gar nicht möglich.

Hast wahrscheinlich gedacht: "Ich trotze dieser Aussage und schaffe es." Augenzwinkern

17.05.2017, 22:46

noAhnung

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Haha, tut mir leid, das war keine böse Absicht! Hammer

Ich richte mich gerade einfach nur nach dem Vorlesungsstoff und da haben wir ansonsten nichts abgesehen von Poisson und Binomialverteilung. Und dann wurde noch kurz die Markov-Kette angeschnitten. Dazu steht, dass sie eindeutig bestimmt wäre durch ihre Startverteilung und ihre Übergangswahrscheinlichkeiten (wäre hier ja konstant p = 0.01). ... mh... also da p konstant ist, kann ich vielleicht irgendwie herausfinden, wie oft ich jemanden überprüfen muss, bis ich mindestens 2 Personen mit AB- gefunden habe?

17.05.2017, 23:02

HAL 9000

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Wieso denn jetzt plötzlich Markovkette? Wir haben doch oben alles beisammen: Binomialverteilung eben! Und für $\begin{align*} X\sim B(n,p) \end{align*}$ ist

$\begin{align*} P(X\geq 2) = 1-P(X\leq 1) = 1-P(X=0)-P(X=1) = 1-(1-p)^n - np(1-p)^{n-1} \end{align*}$ .

In unserem Fall mit $\begin{align*} p=0.01 \end{align*}$ wäre dann also die Ungleichung

$\begin{align*} P(X\geq 2) = 1-0.99^n - n\cdot 0.01\cdot 0.99^{n-1} \geq 0.2 \end{align*}$

zu lösen.

18.05.2017, 21:23

noAhnung

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Ah okay, verstehe! Und jetzt muss ich mich irgendwie der korrekten Lösung annähern? Würde denn z.B. einfach das Newton'sche Näherungsverfahren funktionieren? Oder gäbe es vielleicht elegantere Wege? Ein Näherungsverfahren würde mir hier abgesehen von "Raten" am schlüssigsten vorkommen. verwirrt

18.05.2017, 21:50

HAL 9000

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Da $\begin{align*} n \end{align*}$ eine natürliche Zahl ist, könnte man sich natürlich im Probierstil langsam vortasten. Laut (a) wissen wir ja schon $\begin{align*} n>50 \end{align*}$ . Dauert aber natürlich ziemlich lange, deswegen ist z.B. Newton eine gute Option. Aber nicht übertreiben mit der Schrittzahl, am Ende muss ja sowieso die nächstgrößere ganze Zahl als Lösung genommen werden.

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