Matrix über kommutativem Ring

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Statista Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix über kommutativem Ring
Meine Frage:
Sei A eine invertierbare nxn-Matrix über einem kommutativen Ring R mit 1. Zeige, dass die Spalten von A eine Basis von bilden.

Meine Ideen:
Meine Idee war drei Sachen zu zeigen:

1. Die Spalten erzeugen den gleichen Raum, wie die Spalten der Einheitsmatrix .

2. Die Spalten von als Vektoren aufgefasst, sind frei.

3. Die Spalten von als Vektoren aufgefasst, sind ein Erzeugendensystem von .

2&3 habe ich ohne Probleme hinbekommen, aber wie zeigt man 1? Wir hatten bei Matrizen über Körpern ganz viele Sätze über den Rang einer Matrix, z.B.:

Eine nxn-Matrix A ist invertierbar, genau dann wenn, rg(A) = n. Wobei der Rang die Dimension des von den Spalten von A erzeugen Raumes ist.

Aber das kann man hier doch bestimmt nicht einfach übernehmen, also hier meine Frage, wie zeige ich am besten Punkt 1?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Mache dir klar, dass dir aussagt, wie du aus den Spaltenvektoren in die Spalten der Einheitsmatrix linear kombinieren kannst.
Statista Auf diesen Beitrag antworten »

Ok habe ich gemacht, aber es scheint so, als wäre ich jetzt noch nicht fertig. Denn es ist ja noch gar nicht klar, dass die Spalten von A frei sind oder? Mit Punkt 1 - 3 sind sie ein Erzeugendensystem des , aber warum sind sie frei? Ich habe mir gedacht, ich könnte vielleicht damit argumentieren, dass die Spalten von A als Vektoren aufgefasst, genau die gleiche Länge haben, wie die Spalten der Einheitsmatrix als Vektoren aufgefasst, aber ganz klar ist mir das noch nicht.

Also die Frage: wie zeige ich am besten, dass die Spalten von A als Vektoren aufgefasst, frei sind?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Definition von frei musst du zeigen, dass wenn du hast und die Spalten von sind, dass impliziert, dass . Beachte, dass , wobei als Spaltenvektor aufgefasst wird.

Nun hast du also für eine invertierbare Matrix. Begründe warum folgen muss.
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